Encontre a solução geral da equação
para
, para
e para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação característica e analisar o discriminante para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma
a equação característica é
No nosso caso,
e
, então a equação característica fica
Passo 3
Agora, vamos calcular o discriminante da equação característica. O discriminante (
) é dado por
Substituindo os valores, temos
O valor do discriminante nos dirá que tipo de raízes a equação tem, o que é crucial para encontrar a solução geral.
Passo 4
Vamos analisar os três casos possíveis com base no valor de
:
-
Quando
: - Aqui,
será negativo porque . - Raízes serão complexas conjugadas.
- Aqui,
-
Quando
: - Nesse caso,
. - As raízes serão reais e iguais (raiz dupla).
- Nesse caso,
-
Quando
: - Aqui,
será positivo porque . - Raízes serão reais e distintas.
- Aqui,
Passo 5
Vamos encontrar a solução geral para cada caso:
-
Para
( ): - As raízes são da forma
. - Aqui,
e . - A solução geral será
- As raízes são da forma
-
Para
( ): - As raízes são reais e iguais,
. - A solução geral será
- As raízes são reais e iguais,
-
Para
( ): - As raízes são reais e distintas.
- Usando a fórmula das raízes da equação quadrática,
- A solução geral será
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
onde
e
são constantes arbitrárias.