Encontre a solução geral da equação
y^prime prime+2 y^prime+a y=0
para a>1, para a=1 e para a<1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial
y'' + 2 y' + a y = 0
Aqui estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação característica e analisar o discriminante para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma
y'' + b y' + c y = 0
a equação característica é
r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, r^2 + 2 r + a = 0 e , então a equação característica fica

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante da equação característica. O discriminante ( De) é dado por
De
Substituindo os valores, temos
O valor do discriminante nos dirá que tipo de raízes a equação tem, o que é crucial para encontrar a solução geral.

Passo 4

Vamos analisar os três casos possíveis com base no valor de :
  1. Quando :
    • Aqui, será negativo porque .
    • Raízes serão complexas conjugadas.
  2. Quando :
    • Nesse caso, .
    • As raízes serão reais e iguais (raiz dupla).
  3. Quando :
    • Aqui, será positivo porque .
    • Raízes serão reais e distintas.

Passo 5

Vamos encontrar a solução geral para cada caso:
  1. Para y(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) ) = e^-x ( C1 cos(raiza - 1, x) + C2 sin(raiza - 1, x) ) ( y(x) = (C1 + C2 x) e^-x ):
    • As raízes são da forma r = -2 pm raiz4 - 4a2 = -1 pm raiz1 - a .
    • Aqui, y(x) = C1 e^(-1 + raiz1 - a) x + C2 e^(-1 - raiz1 - a) x e .
    • A solução geral será
  2. Para ( ):
    • As raízes são reais e iguais, .
    • A solução geral será
  3. Para ( ):
    • As raízes são reais e distintas.
    • Usando a fórmula das raízes da equação quadrática,
    • A solução geral será

Resposta

A solução geral da equação diferencial y(x) = e^-x ( C1 cos(raiza - 1, x) + C2 sin(raiza - 1, x) ) é:
  • Para y(x) = (C1 + C2 x) e^-x :
    y(x) = C1 e^(-1 + raiz1 - a) x + C2 e^(-1 - raiz1 - a) x
  • Para :
  • Para :
onde e são constantes arbitrárias.

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