Calcule a integral dupla
, onde
é a região contida na circunferência
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é
. O enunciado diz que a região
está dentro da circunferência
. Vamos precisar usar coordenadas polares porque a região é circular e a função envolve
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
E a área diferencial
passa a ser
. Isso facilita nossa integral porque
.
Passo 3
Vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:
Aqui,
varia de 0 a 1 (raio da circunferência) e
varia de 0 a
para cobrir todo o círculo.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Para integrar isso, usamos a substituição
, então
, o que significa que
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
A integral dupla é igual a
.