Calcule a integral dupla integral duplaD e^-(x^2+y^2) d A, onde D é a região contida na circunferência x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é integral duplaD e^-(x^2+y^2) dA. O enunciado diz que a região D está dentro da circunferência x^2+y^2=1. Vamos precisar usar coordenadas polares porque a região é circular e a função envolve x^2 + y^2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
x = r costheta y = r sintheta
E a área diferencial dA passa a ser r , dr , dtheta. Isso facilita nossa integral porque x^2 + y^2 = r^2.

Passo 3

Vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaD e^-(x^2+y^2) dA = integral0^2pi integral0^1 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, r varia de 0 a 1 (raio da circunferência) e theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral0^1 e^-r^2 cdot r , dr
Para integrar isso, usamos a substituição u = -r^2, então du = -2r , dr, o que significa que r , dr = -12 du.

Passo 5

Substituindo na integral:
integral e^-r^2 cdot r , dr = -12 integral e^u , du = -12 e^u + C = -12 e^-r^2 + C
Agora, aplicamos os limites de 0 a 1:
[ -12 e^-1 ] - [ -12 e^0 ] = -12 e^-1 + 12 = 12 (1 - e^-1)

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a theta:
integral0^2pi 12 (1 - e^-1) , dtheta = 12 (1 - e^-1) cdot integral0^2pi dtheta = 12 (1 - e^-1) cdot 2pi = pi (1 - e^-1)

Resposta

A integral dupla é igual a pi (1 - e^-1).

Exercícios relacionados