Calcule a integral trigonométrica.
integral0^pi / 2 cos (2 x) sen^2(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral trigonométrica integral0^pi/2 cos(2x),sin^2(x),dx. O conteúdo envolve identidades trigonométricas e cálculo de primitivas, e vamos precisar usar a identidade de redução de potência para sin^2(x) e, em seguida, integrar termo a termo.

Passo 2

Usamos a identidade de redução de potência:
sin^2(x)=1-cos(2x)2
Substituindo na integral:
integral0^pi/2cos(2x)sin^2(x),dx =12integral0^pi/2cos(2x),dx -12integral0^pi/2cos^2(2x),dx

Passo 3

Para o primeiro termo, calculamos:
integralcos(2x),dx=12sin(2x)
Avaliando de 0 a pi/2:
12sin(2x)|0^pi/2= rac12(sinpi-sin0)=0

Passo 4

Para o segundo termo, usamos a identidade
cos^2(2x)=1+cos(4x)2
Então
integralcos^2(2x),dx =12integral1,dx+12integralcos(4x),dx =x2+sin(4x)8
Avaliando de 0 a pi/2
(x2+sin(4x)8)|0^pi/2= racpi4

Passo 5

Ao juntar os resultados temos
integral0^pi/2cos(2x)sin^2(x),dx =12cdot0-12cdotpi4
Agora avaliamos a primitiva nos limites: para x=pi/2 obtemos -pi/8) e para x=0 obtemos 0; a integral é a diferença entre esses valores.

Resposta

-tfracpi8

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