Calcule a integral dupla.
é limitada pelo eixo
e pela parábola
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
, onde
é a região no plano limitada pelo eixo
(ou seja,
) e pela parábola
. O conteúdo central aqui é integral dupla e uso de simetria ou paridade para simplificar o cálculo.
Passo 2
Para descrever
como integral iterada, encontramos as interseções da parábola com o eixo
, resolvendo
, o que dá
. Assim podemos escrever:
Passo 3
A integranda é
. Para cada
fixo,
é uma função ímpar de
, pois
E o intervalo de
é simétrico em torno de zero (de
a
). Pelo teorema da paridade, a integral de uma função ímpar em intervalo simétrico se anula.
Passo 4
Logo não precisamos computar em detalhe a integral em
e depois em
. Basta concluir que
Resposta
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