Calcule a integral dupla.
integral duplaD x^3 y d A, D é limitada pelo eixo y e pela parábola x=-4 y^2+3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD x^3y,dA, onde D é a região no plano limitada pelo eixo y (ou seja, x=0) e pela parábola x=-4y^2+3. O conteúdo central aqui é integral dupla e uso de simetria ou paridade para simplificar o cálculo.

Passo 2

Para descrever D como integral iterada, encontramos as interseções da parábola com o eixo y, resolvendo -4y^2+3=0, o que dá y=pmtfracraiz32. Assim podemos escrever:
D=l(x,y): -tfracraiz32<= y<= tfracraiz32,;0<= x<= -4y^2+3r

Passo 3

A integranda é f(x,y)=x^3y. Para cada x fixo, f(x,y) é uma função ímpar de y, pois
f(x,-y)=x^3(-y)=-x^3y=-f(x,y)
E o intervalo de y é simétrico em torno de zero (de -tfracraiz32 a tfracraiz32). Pelo teorema da paridade, a integral de uma função ímpar em intervalo simétrico se anula.

Passo 4

Logo não precisamos computar em detalhe a integral em x e depois em y. Basta concluir que
integral duplaD x^3y,dA = 0

Resposta

0

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