Encontre a solução do problema de valor inicial:
© lx^2 y^prime+2 x y=cos x, y(pi)=0

Passo 1

Nesse exercício, temos o problema de valor inicial dado por
x^2y' + 2xy = cos x
com a condição y(pi)=0. O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, colocamos a ODE na forma padrão y' + P(x)y = Q(x). Dividindo tudo por x^2 (assumindo xneq0), fica
y' + 2xy = cos xx^2
Identificamos P(x)=2/x e Q(x)=cos x/x^2.

Passo 3

O fator integrante é dado por
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral 2x,dxr) = exp(2ln|x|) = x^2
Usei aqui a propriedade e^2ln|x|=|x|^2=x^2.

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por mu(x)=x^2, o lado esquerdo vira derivada do produto:
x^2y' + 2xy = (x^2y)'
Então a equação passa a ser (x^2y)' = cos x.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral (x^2y)',dx = integral cos x,dx
Isso dá
x^2y = sin x + C,
de onde a solução geral é
y(x) = sin x + Cx^2

Passo 6

Para achar C, usamos a condição y(pi)=0:
0 = y(pi) = sinpi + Cpi^2 = 0+Cpi^2
logo C=0. Assim a solução particular é
y(x) = sin xx^2

Resposta

y(x) = sin xx^2

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