Use o método do fator integrante para encontrar a solução geral das seguintes equações lineares:
(d) x^prime+(tg t) x=tg t.

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem linear x' + tan t,x = tan t. O conteúdo é equações lineares de primeira ordem e vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão
x' + p(t),x = q(t)
com p(t)=tan t e q(t)=tan t. O fator integrante é dado por
mu(t) = expl(integral p(t),dtr) = expl(integral tan t,dtr) = e^-ln|cos t| = 1cos t

Passo 3

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante mu(t)=1/cos t, obtendo
x'cos t + sin tcos^2 t,x = sin tcos^2 t
Observamos que o lado esquerdo é a derivada de x/cos t, ou seja
l(xcos tr)' = x'cos t + sin tcos^2 t,x

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a t e usando substituição u=cos t, du=-sin t,dt, chegamos a
xcos t = integral sin tcos^2 t,dt = 1cos t + C

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por cos t, obtemos
x = 1 + Ccos t,
que é a solução geral da equação.

Resposta

x(t) = 1 + C\cos t

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