Encontre a solução do problema de valor inicial:
(f)
(f)
Passo 1
O problema dá a EDO linear de primeira ordem x′−2x=3e^t com condição inicial x(0)=1. Vamos usar o método do fator integrante, que é o conteúdo-chave aqui.
Passo 2
Para achar o fator integrante μ(t), calculamos μ(t)=e{∫(−2)dt}=e{−2t}. Esse fator transforma o lado esquerdo da EDO em derivada de um produto.
Passo 3
Multiplicamos toda a equação por μ(t):
O lado esquerdo é exatamente d/dt(e^{−2t}x). Portanto temos
Agora integramos ambos os lados em relação a t.
Passo 4
Integrando, obtemos:
onde C é constante de integração. Isolando x, fica
Por fim usamos a condição x(0)=1:
Passo 5
Substituindo t=0 em x(0)=−3e0+Ce0=−3+C=1 dá C=4. Assim a solução geral que satisfaz a condição inicial é x(t)=−3et+4e{2t}.