Encontre a solução do problema de valor inicial:
(f) lx^prime-2 x=3 e^t x(0)=1

Passo 1

O problema dá a EDO linear de primeira ordem x′−2x=3e^t com condição inicial x(0)=1. Vamos usar o método do fator integrante, que é o conteúdo-chave aqui.

Passo 2

Para achar o fator integrante μ(t), calculamos μ(t)=e{∫(−2)dt}=e{−2t}. Esse fator transforma o lado esquerdo da EDO em derivada de um produto.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por μ(t):
e^−2tx−2e^−2tx=3e^t e^−2t=3e^−t
O lado esquerdo é exatamente d/dt(e^{−2t}x). Portanto temos
ddtl(e^−2txr)=3e^−t
Agora integramos ambos os lados em relação a t.

Passo 4

Integrando, obtemos:
e^−2tx=integral3e^−tdt=−3e^−t+C
onde C é constante de integração. Isolando x, fica
x= e^2t(−3e^−t+C)=−3e^t+Ce^2t
Por fim usamos a condição x(0)=1:

Passo 5

Substituindo t=0 em x(0)=−3e0+Ce0=−3+C=1 dá C=4. Assim a solução geral que satisfaz a condição inicial é x(t)=−3et+4e{2t}.

Resposta

x(t)=-3e^t+4e^2t

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