Calcule a integral dupla integral duplaD x y raiz1+x^2+y^2 d A onde D é a porção do disco x^2+y^2 <= 1 que fica no primeiro quadrante.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaD x y raiz1+x^2+y^2,dA, em que D é o setor do disco x^2+y^2<=1 no primeiro quadrante. O conteúdo aqui é usar coordenadas polares para integrais duplas, pois a região é circular.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta. A região D vira
0<= r<=1,0<=theta<=tfracpi2

Passo 3

Substituindo na integral temos
x y raiz1+x^2+y^2,dA = (rcostheta)(rsintheta)raiz1+r^2,r,dr,dtheta = r^3costhetasinthetaraiz1+r^2,dr,dtheta

Passo 4

Logo a integral se escreve
integral duplaD = integraltheta=0^pi/2integralr=0^1 r^3costhetasinthetaraiz1+r^2,dr,dtheta

Passo 5

Separamos o produto de integrais:
l(integral0^pi/2costhetasintheta,dthetar);l(integral0^1r^3raiz1+r^2,drr)

Passo 6

A integral angular é
integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta = tfrac12integral0^pi/2sin(2theta),dtheta = tfrac12cdot1 = tfrac12

Passo 7

Para a parte radial, usamos u=1+r^2, du=2r,dr, então r^2=u-1 e
integral0^1r^3raiz1+r^2,dr = tfrac12integralu=1^2(u-1)u^1/2,du = tfrac12integral1^2(u^3/2-u^1/2),du

Passo 8

Calculando, obtemos
tfrac12l[tfrac25u^5/2-tfrac23u^3/2r]1^2 = tfrac2(raiz2+1)15

Passo 9

Multiplicando com 1/2 da parte angular, a integral total vale
tfrac12cdottfrac2(raiz2+1)15 = raiz2+115

Resposta

dfracraiz2+115

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