Calcule a integral dupla integral duplaD e^-(x^2+y^2) d A onde D é o disco com centro na origem e raio R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve a função e^-(x^2+y^2) sobre um disco D com centro na origem e raio R. Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos utilizar coordenadas polares, que são super úteis quando a região de integração é circular, como nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a integral de coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, theta). Nas coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por um raio r (a distância até a origem) e um ângulo theta (a direção a partir do eixo positivo x).

Passo 3

A transformação para coordenadas polares envolve substituir x e y por r e theta da seguinte forma:
x = r costheta e y = r sintheta
Além disso, o elemento de área dA em coordenadas cartesianas dx,dy se transforma em r,dr,dtheta em coordenadas polares. Esse fator extra de r vem do Jacobiano da transformação.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares. A função e^-(x^2+y^2) se torna e^-r^2 porque x^2+y^2 = r^2. A região D, que é um disco de raio R, em coordenadas polares corresponde a r variando de 0 a R e theta variando de 0 a 2pi (uma volta completa).
Portanto, a integral fica:
integral duplaD e^-(x^2+y^2) dA = integral0^2pi integral0^R e^-r^2 cdot r, dr, dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral0^R e^-r^2 cdot r, dr
Notamos que a função e^-r^2 é um pouco complicada para integrar diretamente, mas podemos simplificar usando uma substituição. Vamos deixar u = -r^2, então du = -2r, dr, o que significa que r, dr = -12 du.
Substituindo, temos:
integral e^-r^2 cdot r, dr = -12 integral e^u du = -12 e^u + C = -12 e^-r^2 + C
Agora, aplicando os limites de 0 a R:
[ -12 e^-r^2 ]0^R = -12 e^-R^2 + 12 e^0 = 12 (1 - e^-R^2)

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a theta:
integral0^2pi 12 (1 - e^-R^2) dtheta
Como 12 (1 - e^-R^2) é constante em relação a theta, a integral se simplifica para:
12 (1 - e^-R^2) integral0^2pi dtheta = 12 (1 - e^-R^2) cdot 2pi = pi (1 - e^-R^2)

Resposta

A integral dupla é igual a pi (1 - e^-R^2).

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