Calcule a integral dupla
onde
é o disco com centro na origem e raio
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve a função
sobre um disco
com centro na origem e raio
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos utilizar coordenadas polares, que são super úteis quando a região de integração é circular, como nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a integral de coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
. Nas coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por um raio
(a distância até a origem) e um ângulo
(a direção a partir do eixo positivo
).
Passo 3
A transformação para coordenadas polares envolve substituir
e
por
e
da seguinte forma:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas cartesianas
se transforma em
em coordenadas polares. Esse fator extra de
vem do Jacobiano da transformação.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares. A função
se torna
porque
. A região
, que é um disco de raio
, em coordenadas polares corresponde a
variando de
a
e
variando de
a
(uma volta completa).
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Notamos que a função
é um pouco complicada para integrar diretamente, mas podemos simplificar usando uma substituição. Vamos deixar
, então
, o que significa que
.
Substituindo, temos:
Agora, aplicando os limites de
a
:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Como
é constante em relação a
, a integral se simplifica para:
Resposta
A integral dupla é igual a
.