(2,0) Calcule a integral dupla integral duplaD 2 x y d A, onde D é a região triangular com vértices (0,0),(1,2) e (0,3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD2xy,dA onde D é o triângulo com vértices (0,0), (1,2) e (0,3). O conteúdo é integral dupla sobre região plana e vamos precisar expressar D com limites de integração apropriados e aplicar integração iterada.

Passo 2

Para descrever D em coordenadas (x,y): as arestas do triângulo são as retas que ligam (0,0) a (1,2), isto é y=2x, e que ligam (1,2) a (0,3), isto é y=-x+3, além do eixo x=0. Logo, variando x de 0 a 1, o y varia entre
yinf=2x, ysup=-x+3

Passo 3

Montamos então a integral iterada:
integral duplaD2xy,dA=integralx=0^1integraly=2x^-x+32x,y,dy,dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integral2x^-x+32x,y,dy=2x[y^22]y=2x^y=-x+3=xl[(-x+3)^2-(2x)^2r]

Passo 5

Simplificando o integrando obtemos
xl[(x^2-6x+9)-4x^2r]=x(-3x^2-6x+9)=-3x^3-6x^2+9x

Passo 6

Agora integramos em x de 0 a 1:
integral0^1(-3x^3-6x^2+9x),dx=[-3x^44-2x^3+9x^22]0^1=-34-2+92=74

Resposta

74

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