integral x arctan x(x^2+1)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x,arctan x(x^2+1)^3,dx. Vamos usar integração por partes para isolar arctan x e depois um método de redução para o integral remanescente. Conteúdo: integração por partes e redução de integrais do tipo integral (x^2+1)^-n,dx.

Passo 2

Escolhemos na integração por partes: u=arctan x e dv=x(x^2+1)^3,dx. Então temos du=11+x^2,dx e precisamos achar v=integral dv.

Passo 3

Para calcular v, façamos a substituição w=x^2+1, de modo que dw=2x,dx e x,dx=tfrac12,dw. Assim:
v=integral x(x^2+1)^3,dx=12integral w^-3,dw=12cdotl(-tfrac12w^-2r)=-14(x^2+1)^2

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes integral u,dv=u,v-integral v,du obtemos:
integral x,arctan x(x^2+1)^3,dx=-arctan x4(x^2+1)^2+14integral dx(x^2+1)^3
Restou o integral I3=integral (x^2+1)^-3,dx, que faremos por redução.

Passo 5

Usamos a fórmula de redução para In=integral (x^2+1)^-ndx:
In=x2(n-1)(x^2+1)^n-1+2n-32(n-1)In-1
Para n=3:
I3=x4(x^2+1)^2+34I2
E para I2=integral(x^2+1)^-2dx temos os conhecidos:
I2=x2(x^2+1)+12arctan x

Passo 6

Substituindo I2 em I3:
I3=x4(x^2+1)^2+34l(x2(x^2+1)+12arctan xr)=x4(x^2+1)^2+3x8(x^2+1)+38arctan x
Logo o integral original vale
-arctan x4(x^2+1)^2+14I3=-arctan x4(x^2+1)^2+x16(x^2+1)^2+3x32(x^2+1)+332arctan x+C

Passo 7

Para deixar mais compacto, somamos os termos em x:
x16(x^2+1)^2+3x32(x^2+1)=3x^3+5x32(x^2+1)^2
Mantemos os arctan x separados, já que um deles tem denominação (x^2+1)^2.

Resposta

\displaystyle \int \frac{x,\arctan x}{(x2+1)3},dx=\frac{3x3+5x}{32(x2+1)2}+\Bigl(\frac{3}{32}-\frac{1}{4(x2+1)^2}\Bigr)\arctan x+C

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