Passo 1
O enunciado pede para calcular
. Vamos usar integração por partes para isolar
e depois um método de redução para o integral remanescente. Conteúdo: integração por partes e redução de integrais do tipo
.
Passo 2
Escolhemos na integração por partes:
e
. Então temos
e precisamos achar
.
Passo 3
Para calcular
, façamos a substituição
, de modo que
e
. Assim:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes
obtemos:
Restou o integral
, que faremos por redução.
Passo 5
Usamos a fórmula de redução para
:
Para
:
E para
temos os conhecidos:
Passo 6
Substituindo
em
:
Logo o integral original vale
Passo 7
Para deixar mais compacto, somamos os termos em
:
Mantemos os
separados, já que um deles tem denominação
.
Resposta
\displaystyle \int \frac{x,\arctan x}{(x2+1)3},dx=\frac{3x3+5x}{32(x2+1)2}+\Bigl(\frac{3}{32}-\frac{1}{4(x2+1)^2}\Bigr)\arctan x+C