Passo 1
O exercício pede para provar a fórmula
Este tópico faz parte de cálculo de várias variáveis e usa a regra de Leibniz para diferenciação sob sinal de integral. Vamos precisar do teorema fundamental do cálculo e da ideia de expandir em pequena variação de x.
Passo 2
Para entender como aparecem os dois termos, considere a diferença finita
Separe em duas partes:
- O acréscimo no limite superior:
- A variação do integrando em
:
Passo 3
Para o primeiro termo, como
é pequeno, podemos aproximar:
e como o intervalo é de comprimento
,
Dividindo por
e fazendo
, isso dá
.
Passo 4
Para o segundo termo, usamos a expansão em série de Taylor restrita ao primeiro termo em
:
Assim,
Dividindo por
e levando
resulta em
Passo 5
Somando os dois termos obtidos ao dividir toda a diferença finita por
e fazendo o limite, concluímos que
Essa é exatamente a regra de Leibniz para integral com limite variável e integrando dependente de
.