partialpartial x integral0^x f(x, y) d y=f(x, x)+integral0^x partial fpartial x(x, y) d y

Passo 1

O exercício pede para provar a fórmula
partialpartial x integral0^x f(x, y) , dy = f(x, x) + integral0^x partial fpartial x(x, y) , dy
Este tópico faz parte de cálculo de várias variáveis e usa a regra de Leibniz para diferenciação sob sinal de integral. Vamos precisar do teorema fundamental do cálculo e da ideia de expandir em pequena variação de x.

Passo 2

Para entender como aparecem os dois termos, considere a diferença finita
I(x+De
Separe em duas partes:
  1. O acréscimo no limite superior:
integralx^x+De
  1. A variação do integrando em [0,x]:
integral0^x l(f(x+De

Passo 3

Para o primeiro termo, como De é pequeno, podemos aproximar:
f(x+De
e como o intervalo é de comprimento De,
integralx^x+De
Dividindo por De e fazendo De, isso dá f(x,x).

Passo 4

Para o segundo termo, usamos a expansão em série de Taylor restrita ao primeiro termo em x:
f(x+De
Assim,
integral0^x l(f(x+De
Dividindo por De e levando De resulta em
integral0^x partial fpartial x(x,y) , dy

Passo 5

Somando os dois termos obtidos ao dividir toda a diferença finita por De e fazendo o limite, concluímos que
ddxintegral0^x f(x,y) , dy = f(x,x) + integral0^x partial fpartial x(x,y) , dy
Essa é exatamente a regra de Leibniz para integral com limite variável e integrando dependente de x.

Resposta

partialpartial x integral0^x f(x, y) , dy = f(x, x) + integral0^x partial fpartial x(x, y) , dy

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