As seguintes sequencias tem um padrhio natural de continuaçăo. Usando tal padrä̀o determine uma formula para o termo geral da sequencia.
-12, 25,-38, 111,-518, ldots

Passo 1

Estamos com a sequência -tfrac12,,tfrac25,,-tfrac38,,tfrac411,,-tfrac514,dots (observando os quatro primeiros termos, pois o quinto parece ter sido impresso com erro) e queremos achar uma fórmula para o termo geral an.

Passo 2

O padrão que aparece é: sinal alternando e numerador e denominador crescentes de forma aritmética. Primeiro vou isolar o fator de sinal alternado.

Passo 3

Para sinal alternado, usamos (-1)^n. De fato, para n=1 fica (-1)^1=-1, para n=2 fica +1, e assim por diante.

Passo 4

Agora a parte absoluta do termo: observe os numeradores 1,2,3,4,5,dots. É simplesmente n.

Passo 5

Para os denominadores vemos 2,5,8,11,14,dots, que é uma progressão aritmética de primeiro termo 2 e razão 3. A fórmula do n-ésimo termo é 3n-1.

Passo 6

Juntando tudo, obtemos
an = (-1)^n n3n - 1

Passo 7

Esse an gera -1/2,,2/5,,-3/8,,4/11,,-5/14,dots, que coincide com o padrão natural de continuação.

Resposta

an = (-1)^n dfracn3n - 1

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