Calcule a integral dupla.
integral duplak x y^2x^2+1 d A, R-(x, y) mid 0 <= x <= 1,-3 <= y<3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função f(x,y)= x,y^2x^2+1 sobre a região R definida por 0≤x≤1 e −3≤y≤3. O conteúdo da matéria envolve integração dupla e separação de variáveis.

Passo 2

Podemos separar a integral dupla em x e y, pois xx^2+1 depende só de x e y^2 depende só de y. Assim podemos reescrever:
integral duplaR x,y^2x^2+1 ,dA = integralx=0^1 integraly=-3^3 xx^2+1,y^2 ,dy,dx = integral0^1 xx^2+1 l(integral-3^3 y^2 ,dyr) dx

Passo 3

Primeiro, calculamos a integral em y:
integral-3^3 y^2 ,dy = 2 integral0^3 y^2 ,dy = 2 l[y^33r]0^3 = 2 cdot 9 = 18

Passo 4

Agora, calculamos a integral em x:
integral0^1 xx^2+1 ,dx = 12 l[lnl(x^2+1r)r]0^1 = 12 ln 2

Passo 5

Por fim, multiplicamos os resultados obtidos: 18 times tfrac12 ln 2 = 9 ln 2.

Resposta

9 \ln 2

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