Determine o domínio maximal
log x^2-8 x+12(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o domínio maximal da função logarítmica logx^2-8x+12(x). Isso significa que temos que encontrar todos os valores de $ x $ para os quais essa expressão está bem definida. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das condições que uma base e um argumento devem satisfazer em um logaritmo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um logaritmo logb(a), a base $ b $ deve ser um número positivo diferente de 1, ou seja:
b
No nosso caso, a base é $ x^{2}-8x+12 $. Portanto, precisamos que:
b > 0 e b neq 1

Passo 3

Além disso, o argumento do logaritmo, que aqui é $ x $, também precisa ser positivo:
x

Passo 4

Vamos resolver a primeira condição: $ x^{2}-8x+12 > 0 $. Para isso, vamos fatorar a expressão quadrática:
x^2-8x+12 > 0
Agora, vamos analisar os intervalos onde esse produto é positivo.

Passo 5

As raízes da equação $ (x-2)(x-6) = 0 $ são $ x = 2 $ e $ x = 6 $. Esses pontos dividem a linha dos números em três intervalos:
  1. $ x < 2 $
  2. $ 2 < x < 6 $
  3. $ x > 6 $
Vamos testar cada intervalo:
  • Para $ x < 2 $, digamos $ x = 1 $: $ (1-2)(1-6) = (-1)(-5) = 5 > 0 $
  • Para $ 2 < x < 6 $, digamos $ x = 4 $: $ (4-2)(4-6) = (2)(-2) = -4 < 0 $
  • Para $ x > 6 $, digamos $ x = 7 $: $ (7-2)(7-6) = (5)(1) = 5 > 0 $
Então, $ x^{2}-8x+12 > 0 $ quando $ x < 2 $ ou $ x > 6 $.

Passo 6

Agora, vamos considerar a segunda parte da primeira condição: $ x^{2}-8x+12 \neq 1 $. Vamos resolver:
x^2-8x+12 neq 1
x^2-8x+12 neq 1
Fatorando:
x^2-8x+11 neq 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
x^2-8x+11 = 0
Portanto, $ x \neq 4 + \sqrt{5} $ e $ x \neq 4 - \sqrt{5} $.

Passo 7

Lembrando que $ \sqrt{5} $ é aproximadamente 2,236, então:
raiz5
4 + raiz5 approx 6,236
Assim, precisamos excluir $ x \approx 1,764 $ e $ x \approx 6,236 $ dos intervalos onde $ x^{2}-8x+12 > 0 $.

Passo 8

Agora, juntando tudo:
  • $ x > 0 $ (argumento positivo)
  • $ x < 2 $ ou $ x > 6 $
  • Excluindo $ x \approx 1,764 $ e $ x \approx 6,236 $
Portanto, os intervalos válidos são:
  • $ 0 < x < 2 $ com $ x \neq 1,764 $
  • $ 6 < x $ com $ x \neq 6,236 $

Resposta

O domínio maximal da função logx^2-8x+12(x) é:
0 < x < 2 e 6 < x
excluindo os valores $ x = 4 - \sqrt{5} $ e $ x = 4 + \sqrt{5} $.

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