Determine o domínio maximal
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o domínio maximal da função logarítmica
. Isso significa que temos que encontrar todos os valores de $ x $ para os quais essa expressão está bem definida. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das condições que uma base e um argumento devem satisfazer em um logaritmo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um logaritmo
, a base $ b $ deve ser um número positivo diferente de 1, ou seja:
No nosso caso, a base é $ x^{2}-8x+12 $. Portanto, precisamos que:
Passo 3
Além disso, o argumento do logaritmo, que aqui é $ x $, também precisa ser positivo:
Passo 4
Vamos resolver a primeira condição: $ x^{2}-8x+12 > 0 $. Para isso, vamos fatorar a expressão quadrática:
Agora, vamos analisar os intervalos onde esse produto é positivo.
Passo 5
As raízes da equação $ (x-2)(x-6) = 0 $ são $ x = 2 $ e $ x = 6 $. Esses pontos dividem a linha dos números em três intervalos:
- $ x < 2 $
- $ 2 < x < 6 $
- $ x > 6 $
Vamos testar cada intervalo:
- Para $ x < 2 $, digamos $ x = 1 $: $ (1-2)(1-6) = (-1)(-5) = 5 > 0 $
- Para $ 2 < x < 6 $, digamos $ x = 4 $: $ (4-2)(4-6) = (2)(-2) = -4 < 0 $
- Para $ x > 6 $, digamos $ x = 7 $: $ (7-2)(7-6) = (5)(1) = 5 > 0 $
Então, $ x^{2}-8x+12 > 0 $ quando $ x < 2 $ ou $ x > 6 $.
Passo 6
Agora, vamos considerar a segunda parte da primeira condição: $ x^{2}-8x+12 \neq 1 $. Vamos resolver:
Fatorando:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Portanto, $ x \neq 4 + \sqrt{5} $ e $ x \neq 4 - \sqrt{5} $.
Passo 7
Lembrando que $ \sqrt{5} $ é aproximadamente 2,236, então:
Assim, precisamos excluir $ x \approx 1,764 $ e $ x \approx 6,236 $ dos intervalos onde $ x^{2}-8x+12 > 0 $.
Passo 8
Agora, juntando tudo:
- $ x > 0 $ (argumento positivo)
- $ x < 2 $ ou $ x > 6 $
- Excluindo $ x \approx 1,764 $ e $ x \approx 6,236 $
Portanto, os intervalos válidos são:
- $ 0 < x < 2 $ com $ x \neq 1,764 $
- $ 6 < x $ com $ x \neq 6,236 $
Resposta
O domínio maximal da função
é:
excluindo os valores $ x = 4 - \sqrt{5} $ e $ x = 4 + \sqrt{5} $.