Calcule as sesguintes integrais utilizndo o teorema de Green:
, onde
é a elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral de linha, que é basicamente uma soma ao longo de uma curva. Nosso objetivo é calcular:
onde
é a elipse definida por
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla, facilitando os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Green diz. Ele relaciona uma integral de linha fechada ao redor de uma curva
com uma integral dupla sobre a região
delimitada por essa curva. A fórmula é:
Aqui, identificamos
e
. Precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora,
:
Subtraindo essas duas derivadas:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na integral dupla:
A integral
representa a área da região
, que é a área da elipse
.
Passo 5
Vamos encontrar a área da elipse. A equação
pode ser escrita como:
Sabemos que a área de uma elipse é dada por:
onde
e
são os semi-eixos. Aqui,
e
, então:
Passo 6
Agora, voltando à nossa integral dupla:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.