Calcule as sesguintes integrais utilizndo o teorema de Green:
ointgamma(e^x-3 y) d x+(e^y+6 x) d y, onde gamma é a elipse x^2+4 y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral de linha, que é basicamente uma soma ao longo de uma curva. Nosso objetivo é calcular:
ointgamma(e^x - 3 y) dx + (e^y + 6 x) dy
onde gamma é a elipse definida por x^2 + 4 y^2 = 4. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla, facilitando os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Green diz. Ele relaciona uma integral de linha fechada ao redor de uma curva gamma com uma integral dupla sobre a região D delimitada por essa curva. A fórmula é:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, identificamos P = e^x - 3y e Q = e^y + 6x. Precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 3

Vamos calcular partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial x (e^y + 6x) = 6
Agora, partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y (e^x - 3y) = -3
Subtraindo essas duas derivadas:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 6 - (-3) = 9

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral dupla:
integral duplaD 9 , dA = 9 integral duplaD dA
A integral integral duplaD dA representa a área da região D, que é a área da elipse x^2 + 4 y^2 = 4.

Passo 5

Vamos encontrar a área da elipse. A equação x^2 + 4 y^2 = 4 pode ser escrita como:
x^22^2 + y^21^2 = 1
Sabemos que a área de uma elipse é dada por:
Área = pi a b Á
onde a e b são os semi-eixos. Aqui, a = 2 e b = 1, então:
Área = pi times 2 times 1 = 2pi Á

Passo 6

Agora, voltando à nossa integral dupla:
9 integral duplaD dA = 9 times 2pi = 18pi

Resposta

Portanto, o valor da integral é 18pi.

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