Calcule a integral dupla.
integral duplaR x e^x y d A, R=[0,1] times[0,1]

Passo 1

Esse problema pede para calcular a integral dupla integral duplaR x e^xy,dA com R = [0,1]times[0,1]. O conteúdo envolvido é integração dupla sobre retângulo e vamos usar o Teorema de Fubini para reduzir a integral a uma iterada.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini podemos escrever
$$
\iint_R x e^{xy},dA

\int_{0}{1}\Bigl(\int_{0}{1} x e^{xy},dy\Bigr)dx.
$$
Aqui escolhi integrar primeiro em relação a integral duplaR x e^xy,dA = integral0^1l(integral0^1 x e^xy,dyr)dx , pois y se comporta como constante nesse passo.

Passo 3

Na integral interna tratamos x como constante. Observamos que
ddyl(e^xyr)=x e^xy,
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integral0^1 x e^xy,dy =l[e^xyr]y=0^y=1 = e^x - 1

Passo 4

Substituindo esse resultado na integral externa, ficamos com
integral0^1 (e^x - 1),dx

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral0^1 e^x,dx = l[e^xr]0^1 = e - 1,
integral0^1 1,dx = l[xr]0^1 = 1
Portanto
integral0^1(e^x-1),dx = (e - 1) - 1 = e - 2

Resposta

e - 2

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