Nos Exercícios de 9 a 18, calcule a integral tripla.
integral triplaS y dV, se S for a região limitada pelo tetraedro formado pelos planos 12x+20y+15z=60 e pelos planos coordenados.

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral tripla integral triplaS y,dV onde S é o tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano 12x+20y+15z=60 e pelos planos coordenados. O conteúdo é cálculo de integrais triplas: vamos precisar determinar os limites de integração a partir dos interceptos do plano.

Passo 2

Primeiro encontramos os interceptos do plano com cada eixo, ou seja, impondo duas variáveis iguais a zero: quando y=z=0 temos x=5; quando x=z=0 temos y=3; quando x=y=0 temos z=4. Logo podemos adotar a ordem de integração dz,dy,dx com limites
0 <= x <= 5, 0 <= y <= 3 - tfrac3x5, 0 <= z <= 4 - tfrac4x5 - tfrac4y3

Passo 3

Escrevendo a integral iterada, temos
integral triplaS y,dV =integralx=0^5integraly=0^3-3x5integralz=0^4-4x5-4y3y,dz,dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em z. Como y é constante em relação a z,
integralz=0^4-4x5-4y3y,dz =yl[zr]0^4-4x5-4y3 =yl(4-tfrac4x5-tfrac4y3r)

Passo 5

Agora integramos em y, com a=3-tfrac3x5:
integral0^ayl(4-tfrac4x5-tfrac4y3r)dy =integral0^al(4y-tfrac4x5y-tfrac43y^2r)dy =6125(5-x)^3

Passo 6

Finalmente integramos em x:
integral0^56125(5-x)^3dx =6125cdot5^44 =152

Resposta

15/2

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