Nos Exercícios de 9 a 18, calcule a integral tripla.
, se
for a região limitada pelo tetraedro formado pelos planos
e pelos planos coordenados.
Passo 1
Estamos querendo calcular a integral tripla
onde
é o tetraedro no primeiro octante limitado pelo plano
e pelos planos coordenados. O conteúdo é cálculo de integrais triplas: vamos precisar determinar os limites de integração a partir dos interceptos do plano.
Passo 2
Primeiro encontramos os interceptos do plano com cada eixo, ou seja, impondo duas variáveis iguais a zero: quando
temos
; quando
temos
; quando
temos
. Logo podemos adotar a ordem de integração
com limites
Passo 3
Escrevendo a integral iterada, temos
Passo 4
Integramos primeiro em
. Como
é constante em relação a
,
Passo 5
Agora integramos em
, com
:
Passo 6
Finalmente integramos em
:
Resposta
15/2