Calcule a integral dupla.
integral duplaR x y e^v d A, R=(x, y) mid 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1

Passo 1

A gente quer calcular a integral dupla integral duplaR x,y,e^y,dA onde o retângulo R é dado por 0<= x<=2 e 0<= y<=1. O conteúdo envolve integração dupla em coordenadas retangulares, separação de variáveis e uso de integração por partes.

Passo 2

Note que o integrando x,y,e^y é produto de uma função de x por uma função de y. Então dá pra escrever
integral duplaR x,y,e^y,dA = l(integral0^2 x,dxr);l(integral0^1 y,e^y,dyr)

Passo 3

Vamos calcular integral0^2 x,dx usando regra da potência:
integral0^2 x,dx = l[tfracx^22r]0^2 = tfrac2^22 = 2

Passo 4

Agora calculamos integral0^1 y,e^y,dy por partes. Seja u = y e dv = e^y dy, então du = dy e v = e^y. A fórmula dá
integral0^1 y,e^y,dy = l[y,e^yr]0^1 - integral0^1 1cdot e^y,dy = (1cdot e^1 - 0) - l[e^yr]0^1 = e - (e - 1) = 1

Passo 5

Por fim, basta multiplicar os dois resultados parciais para obter o valor da integral dupla.

Resposta

2

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