Exercício 1. Calcule as integrais iteradas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular uma integral iterada, que é basicamente integrar uma função em duas etapas, primeiro em relação a uma variável e depois à outra. A função que vamos integrar é 6x^2y + 2x, e os limites de integração são de y = 0 a y = 2 e de x = 1 a x = 4. Vamos precisar usar o conceito de integração dupla para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é em relação a y. Isso significa que vamos integrar 6x^2y + 2x com respeito a y, mantendo x como uma constante. A expressão fica assim:
integral0^2 (6x^2y + 2x) dy

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral interna. Integramos termo a termo:
  1. Para 6x^2y, a integral de y em relação a y é 12y^2, então:
6x^2 cdot 12y^2 = 3x^2y^2
  1. Para 2x, que é uma constante em relação a y, a integral de 2x em relação a y é 2xy:
2x cdot y = 2xy
Então, a integral interna fica:
3x^2y^2 + 2xy |0^2

Passo 4

Agora, substituímos os limites de y de 0 a 2 na expressão que obtivemos:
3x^2(2)^2 + 2x(2) - [3x^2(0)^2 + 2x(0)] = 3x^2(4) + 4x - 0 = 12x^2 + 4x
Então, a integral iterada agora fica:
integral1^4 (12x^2 + 4x) dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral externa, que é em relação a x:
integral1^4 (12x^2 + 4x) dx
Integramos termo a termo novamente:
  1. A integral de 12x^2 em relação a x é 12 cdot 13x^3 = 4x^3.
  2. A integral de 4x em relação a x é 4 cdot 12x^2 = 2x^2.
Então, a expressão integrada fica:
4x^3 + 2x^2 |1^4

Resposta

Substituindo os limites de x de 1 a 4, temos:
4(4)^3 + 2(4)^2 - [4(1)^3 + 2(1)^2] = 4(64) + 2(16) - (4 + 2) = 256 + 32 - 6 = 282
Então, o valor da integral iterada é 282.

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