Calcule a integral dupla.
integral duplaR y e^-2 y d A, R=[0,2] times[0,3]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaRy,e^-2y,dA,
onde R=[0,2]times[0,3].
Conteúdo: usar o Teorema de Fubini para região retangular e depois resolver uma integral em y por partes.

Passo 2

Aplicando Fubini, integramos primeiro em x:
integral duplaRy,e^-2y,dA =integraly=0^3!integralx=0^2y,e^-2y,dx,dy =integral0^3y,e^-2yl(integral0^2dxr)dy =2integral0^3y,e^-2y,dy

Passo 3

Para calcular integral0^3y,e^-2y,dy, usamos integração por partes. Defina
u = y, dv = e^-2ydy
du = dy, v = -tfrac12e^-2y
Então
integral y,e^-2y,dy =uv-integral v,du =-tfrac12y,e^-2y-integrall(-tfrac12e^-2yr)dy =-tfrac12y,e^-2y-tfrac14e^-2y

Passo 4

Avalie a primitiva entre y=0 e y=3:
l[-tfrac12y,e^-2y-tfrac14e^-2yr]0^3 =l(-tfrac12cdot3,e^-6-tfrac14e^-6r)-l(0-tfrac14r) =-tfrac74e^-6+tfrac14

Passo 5

Multiplicando por 2 (do Passo 2), obtemos
integral duplaRy,e^-2y,dA =2l(-tfrac74e^-6+tfrac14r) =-tfrac72e^-6+tfrac12 =tfrac12-tfrac72e^-6

Resposta

tfrac12 - tfrac72e^-6

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