Usando o método de separação de variáveis, encontre a seguinte expressão para o potencial elétrico considerando uma simetria azimutal,
em que
são os polinômios de Legendre.
Se
, encontre que o potencial dentro da esfera é
Se
Passo 1
Estamos resolvendo a equação de Laplace com simetria azimutal em coordenadas esféricas. A solução geral é
e a condição de contorno na superfície
é
Para achar o potencial no interior da esfera, precisamos impor essa condição e exigir regularidade em
.
Passo 2
Como não pode haver divergência em
, tomamos
. Assim, dentro da esfera
e na superfície
Passo 3
Expandimos o contorno em polinômios de Legendre usando
logo
Passo 4
Comparando com
vemos que só
e
aparecem:
daí
Passo 5
Substituindo em
obtemos