Usando o método de separação de variáveis, encontre a seguinte expressão para o potencial elétrico considerando uma simetria azimutal,
V(r, theta)=suml=0^infty(Al r^l+Blr^l+1) Pl(cos theta)
em que Pl são os polinômios de Legendre.
Se V0(theta)=k sin ^2(theta / 2), encontre que o potencial dentro da esfera é
V(r, theta)=k2(1-rR cos theta)

Passo 1

Estamos resolvendo a equação de Laplace com simetria azimutal em coordenadas esféricas. A solução geral é
V(r,theta)=suml=0^inftyl(Al,r^l + Bl,r^-l-1r),Pl(costheta),
e a condição de contorno na superfície r=R é
V(R,theta)=V0(theta)=ksin^2theta2
Para achar o potencial no interior da esfera, precisamos impor essa condição e exigir regularidade em r=0.

Passo 2

Como não pode haver divergência em r=0, tomamos Bl=0. Assim, dentro da esfera
V(r,theta)=suml=0^inftyAl,r^l,Pl(costheta),
e na superfície
V(R,theta)=suml=0^inftyAl,R^l,Pl(costheta)=ksin^2theta2

Passo 3

Expandimos o contorno em polinômios de Legendre usando
sin^2theta2=1-costheta2 =12,P0(costheta);-;12,P1(costheta),
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V(R,theta)=k2,P0(costheta);-;k2,P1(costheta)

Passo 4

Comparando com sum AlR^lPl vemos que só l=0 e l=1 aparecem:
A0R^0=k2, A1R^1=-k2, Al>=2=0,
daí
A0=k2, A1=-k2R

Passo 5

Substituindo em V(r,theta)=A0 + A1,r,P1(costheta) obtemos
V(r,theta) =k2-k2R,rcostheta =k2l(1-rRcosthetar)

Resposta

V(r,theta)=k2l(1-rRcosthetar)

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