Usando o método de separação de variáveis, encontre a seguinte expressão para o potencial elétrico considerando uma simetria azimutal,
em que
são os polinômios de Legendre.
Se o potencial é
na superfície de uma esfera oca de raio
em que
é uma constante, encontre que o potencial dentro da esfera para esse caso é
Se o potencial é
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Laplace em coordenadas esféricas com simetria azimutal, cuja solução geral é
Temos a condição de contorno na superfície
:
e queremos o potencial dentro da esfera (regular em
).
Passo 2
Para o interior da esfera não pode haver divergência em
. Logo devemos ter
ficando
Passo 3
Impondo a condição de contorno em
,
Pelo teorema de ortogonalidade só o termo
é não nulo, portanto
e
para
.
Passo 4
Substituindo de volta no somatório, o potencial dentro da esfera fica apenas com
: