Usando o método de separação de variáveis, encontre a seguinte expressão para o potencial elétrico considerando uma simetria azimutal,
V(r, theta)=suml=0^infty(Al r^l+Blr^l+1) Pl(cos theta)
em que Pl são os polinômios de Legendre.
Se o potencial é V0(theta)=k cos theta na superfície de uma esfera oca de raio R em que k é uma constante, encontre que o potencial dentro da esfera para esse caso é
V(r, theta)=k rR cos theta

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Laplace em coordenadas esféricas com simetria azimutal, cuja solução geral é
V(r,theta)=suml=0^inftyl(Al,r^l+Blr^l+1r)Pl(costheta)
Temos a condição de contorno na superfície r=R:
V(R,theta)=V0(theta)=kcostheta,
e queremos o potencial dentro da esfera (regular em r=0).

Passo 2

Para o interior da esfera não pode haver divergência em r=0. Logo devemos ter
Bl=0 para todo l,
ficando
V(r,theta)=suml=0^inftyAl,r^lPl(costheta)

Passo 3

Impondo a condição de contorno em r=R,
suml=0^inftyAlR^lPl(costheta) = kcostheta = k,P1(costheta)
Pelo teorema de ortogonalidade só o termo l=1 é não nulo, portanto
A1R^1=k Longrightarrow A1=kR,
e Al=0 para lneq1.

Passo 4

Substituindo de volta no somatório, o potencial dentro da esfera fica apenas com l=1:
V(r,theta)=A1,r,P1(costheta) =kR,r,costheta

Resposta

V(r,theta)=k,rRcostheta

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