Calcule a integral iterada.
integral-1^3 integral0^z / 2(y+y^2 cos x) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral-1^3integral0^z/2l(y+y^2cos xr),dx,dy
Aqui há um aparente erro tipográfico: a variável externa é y mas o limite interno aparece em termos de z. Vamos assumir que esse limite interno devia ser y/2.
O conteúdo é cálculo de integrais iteradas, onde primeiro integramos em x tratando y como constante e depois em y.

Passo 2

Calcular a integral interna em x:
integral0^y/2l(y+y^2cos xr),dx = l[y,x + y^2sin xr]0^y/2 = ycdoty2 + y^2sin!l(tfracy2r) = y^22 + y^2sin!l(tfracy2r)

Passo 3

Substituindo na integral externa obtemos
integral-1^3l(y^22 + y^2sin!l(tfracy2r)r),dy = integral-1^3y^22,dy ;+; integral-1^3y^2sin!l(tfracy2r),dy

Passo 4

Calcular a primeira parte:
integral-1^3y^22,dy = 12l[y^33r]-1^3 = 16l(27 - (-1)r) = 286 = 143

Passo 5

Calcular a segunda parte por partes. Seja I=integral-1^3y^2sin!l(tfracy2r),dy.
Tomamos
u1=y^2, dv1=sin!l(tfracy2r),dy ;Rightarrow; du1=2y,dy, v1=-2cos!l(tfracy2r)
Então
I =l[-2y^2cos!l(tfracy2r)r]-1^3 +4integral-1^3ycos!l(tfracy2r),dy
Na segunda integral usamos partes de novo:
u2=y, dv2=cos!l(tfracy2r),dy ;Rightarrow; du2=dy, v2=2sin!l(tfracy2r),
integral-1^3ycos!l(tfracy2r),dy =l[2ysin!l(tfracy2r)+4cos!l(tfracy2r)r]-1^3
Fazendo as contas nos limites obtém-se
I =24sin!l(tfrac32r) -8sin!l(tfrac12r) -2cos!l(tfrac32r) -14cos!l(tfrac12r)

Resposta

143 ;+; 24sin!l(tfrac32r) -8sin!l(tfrac12r) -2cos!l(tfrac32r) -14cos!l(tfrac12r)

Exercícios relacionados