Calcule a integral dupla integral duplaR 1+4 x y d A onde R=[0,1] times[1,3].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaR (1 + 4xy) , dA onde a região R é o retângulo definido por 0 <= x <= 1 e 1 <= y <= 3. Isso envolve cálculo integral em duas dimensões, especificamente a integração sobre uma região retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Imagine que a gente quer somar os valores da função 1 + 4xy em todos os pontos dentro do retângulo R. Para isso, a gente integra primeiro em relação a x e depois em relação a y, ou vice-versa. Aqui, vamos integrar primeiro em x de 0 a 1 e depois em y de 1 a 3.

Passo 3

Vamos escrever a integral dupla como duas integrais iteradas:
integraly=1^3 ( integralx=0^1 (1 + 4xy) , dx ) dy
Isso significa que primeiro vamos integrar 1 + 4xy em relação a x, mantendo y constante, e depois integrar o resultado em relação a y.

Passo 4

Vamos calcular a integral interna:
integral0^1 (1 + 4xy) , dx
Essa integral pode ser separada em duas partes:
integral0^1 1 , dx + integral0^1 4xy , dx
Integrando termo a termo:
= [ x ]0^1 + 4y [ x^22 ]0^1
= (1 - 0) + 4y ( 12 - 0 )
= 1 + 2y

Passo 5

Agora que temos a integral interna resolvida, vamos substituir na integral externa:
integral1^3 (1 + 2y) , dy
Assim como antes, vamos integrar termo a termo:
= integral1^3 1 , dy + integral1^3 2y , dy
Integrando:
= [ y ]1^3 + 2 [ y^22 ]1^3
= (3 - 1) + (y^2)1^3
= 2 + (9 - 1)
= 2 + 8
= 10

Resposta

O valor da integral dupla é 10.

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