Calcule a integral dupla
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla
onde a região
é o retângulo definido por
e
. Isso envolve cálculo integral em duas dimensões, especificamente a integração sobre uma região retangular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Imagine que a gente quer somar os valores da função
em todos os pontos dentro do retângulo
. Para isso, a gente integra primeiro em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa. Aqui, vamos integrar primeiro em
de 0 a 1 e depois em
de 1 a 3.
Passo 3
Vamos escrever a integral dupla como duas integrais iteradas:
Isso significa que primeiro vamos integrar
em relação a
, mantendo
constante, e depois integrar o resultado em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna:
Essa integral pode ser separada em duas partes:
Integrando termo a termo:
Passo 5
Agora que temos a integral interna resolvida, vamos substituir na integral externa:
Assim como antes, vamos integrar termo a termo:
Integrando:
Resposta
O valor da integral dupla é
.