Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração.
integral0^1 integral3 y^3 e^x^2 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração e calcular
integral0^1integral3y^3 e^x^2,dx,dy
trocando a ordem de integração. Vamos usar Fubini e depois uma substituição para resolver.

Passo 2

Desenhando o domínio R no plano xy, as condições são
0<= y<=1, 3y<= x<=3
Isso é um triângulo limitado pela reta x=3y, pelo eixo x e pela reta x=3.

Passo 3

Para trocar a ordem, observamos que a reta x=3y equivale a y=x/3. Assim, x varia de 0 a 3 e, para cada x, y varia de 0 a x/3.

Passo 4

Escrevendo a integral com a ordem trocada:
integral0^3integral0^x/3 e^x^2,dy,dx
A integral interna em y é constante em relação a y, então
integral0^x/3 e^x^2,dy = e^x^2cdotx3
Logo a integral vira
13integral0^3 x e^x^2,dx

Passo 5

Para calcular
integral0^3 x e^x^2,dx
fazemos a substituição t=x^2, então dt=2x,dx e x,dx=dt/2. A integral passa a ser
13cdot12integral0^9 e^t,dt = 16(e^9-1)

Resposta

e^9-16

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