Esboce a região de integração e calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração e calcular
trocando a ordem de integração. Vamos usar Fubini e depois uma substituição para resolver.
Passo 2
Desenhando o domínio R no plano xy, as condições são
Isso é um triângulo limitado pela reta
, pelo eixo x e pela reta
.
Passo 3
Para trocar a ordem, observamos que a reta
equivale a
. Assim,
varia de 0 a 3 e, para cada
,
varia de 0 a
.
Passo 4
Escrevendo a integral com a ordem trocada:
A integral interna em
é constante em relação a
, então
Logo a integral vira
Passo 5
Para calcular
fazemos a substituição
, então
e
. A integral passa a ser