(2,5) Calcule a integral dupla integral duplaR e^-(x^2+y^2) d A onde a região R está no primeiro quadrante e é limitada pela cirncunferência x^2+y^2=9 e pelos eixos coordenados.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla integral duplaR e^-(x^2+y^2) , dA, onde a região R está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência x^2+y^2=9 e pelos eixos coordenados. Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, já que a região é circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R. Ela está no primeiro quadrante, ou seja, onde x >= 0 e y >= 0, e limitada pela circunferência x^2+y^2=9. Isso significa que o raio máximo é 3, pois raiz9 = 3.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, x = r costheta e y = r sintheta, e o elemento de área dA se transforma em r , dr , dtheta.

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração em coordenadas polares. Como estamos no primeiro quadrante:
  • theta varia de 0 a pi2 radianos.
  • r varia de 0 a 3.

Passo 5

Substituindo na integral original, temos:
integral duplaR e^-(x^2+y^2) , dA = integral0^pi2 integral0^3 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta
Aqui, usamos que x^2 + y^2 = r^2.

Passo 6

Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral0^3 e^-r^2 cdot r , dr
Fazendo a substituição u = -r^2, temos du = -2r , dr, ou seja, r , dr = -12 du.

Passo 7

Com a substituição, a integral fica:
-12 integral0^-9 e^u , du = 12 integral-9^0 e^u , du = 12 [e^u]-9^0 = 12 (1 - e^-9)

Passo 8

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi2 12 (1 - e^-9) , dtheta = 12 (1 - e^-9) cdot integral0^pi2 dtheta = 12 (1 - e^-9) cdot pi2

Passo 9

Simplificando, obtemos:
pi4 (1 - e^-9)

Resposta

A integral dupla vale pi4 (1 - e^-9).

Exercícios relacionados