Calcule a integral dupla
onde a região
está no primeiro quadrante e é limitada pela cirncunferência
e pelos eixos coordenados.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para calcular a integral dupla
, onde a região
está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados. Vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, já que a região é circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela está no primeiro quadrante, ou seja, onde
e
, e limitada pela circunferência
. Isso significa que o raio máximo é 3, pois
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos trocar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
se transforma em
.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração em coordenadas polares. Como estamos no primeiro quadrante:
-
varia de a radianos. -
varia de a .
Passo 5
Substituindo na integral original, temos:
Aqui, usamos que
.
Passo 6
Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
.
Passo 7
Com a substituição, a integral fica:
Passo 8
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 9
Simplificando, obtemos:
Resposta
A integral dupla vale
.