Encontre a solução geral do sistema dado.
Passo 1
A gente tem um sistema linear de ordem 2 da forma
. Aqui o conteúdo é sistemas lineares com coeficientes constantes e a ideia é usar autovalores e autovetores para montar a solução geral.
Passo 2
Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico de
:
Isso dá o polinômio
.
Passo 3
Resolvendo
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Ou seja, temos autovalores complexos conjugados
e
.
Passo 4
Vamos buscar um autovetor para
. Resolvendo
leva ao sistema
Da primeira equação vem
. Escolhendo
, temos o autovetor complexo
Separamos em parte real
e parte imaginária
.
Passo 5
Para sistemas com autovalor
e autovetor
, a solução real geral é
Aqui
e
. Substituindo
e
dá as soluções fundamentais reais.
Passo 6
Substituindo tudo, obtemos a solução geral do sistema: