Encontre a solução geral do sistema dado.
X^prime=(ll1 & -8 1 & -3) X

Passo 1

A gente tem um sistema linear de ordem 2 da forma X' = A X. Aqui o conteúdo é sistemas lineares com coeficientes constantes e a ideia é usar autovalores e autovetores para montar a solução geral.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico de A = 1 & -8 1 & -3:
det(A - lambda I) = det1-lambda & -8 1 & -3-lambda = (1-lambda)(-3-lambda) - (-8)(1)
Isso dá o polinômio lambda^2 + 2lambda + 5 = 0.

Passo 3

Resolvendo lambda^2 + 2lambda + 5 = 0, usamos a fórmula de Bhaskara:
lambda = -2 pm raiz4 - 202 = -1 pm 2i
Ou seja, temos autovalores complexos conjugados -1+2i e -1-2i.

Passo 4

Vamos buscar um autovetor para lambda = -1+2i. Resolvendo (A - lambda I)v = 0 leva ao sistema
(2-2i)v1 - 8v2 = 0, v1 +(-2-2i)v2 = 0
Da primeira equação vem v1 = 82-2iv2 = (2+2i)v2. Escolhendo v2 = 1, temos o autovetor complexo
v = 2+2i1
Separamos em parte real alpha = (2,1)^T e parte imaginária beta = (2,0)^T.

Passo 5

Para sistemas com autovalor lambda = a + bi e autovetor alpha + ibeta, a solução real geral é
X(t) = e^atl[C1l(alphacos(bt) - betasin(bt)r) + C2l(alphasin(bt) + betacos(bt)r)r]
Aqui a = -1 e b = 2. Substituindo alpha e beta dá as soluções fundamentais reais.

Passo 6

Substituindo tudo, obtemos a solução geral do sistema:

Passo 7

Resposta

X(t) = e^-t[C12cos(2t) - 2sin(2t)[6pt]cos(2t) + C22sin(2t) + 2cos(2t)[6pt]sin(2t)], onde C1 e C2 são constantes arbitárias.

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