Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
y^prime prime+y=2 t sen t

Passo 1

Neste exercício vamos usar o método dos coeficientados indeterminados para a equação
y'' + y = 2tsin t
O conteúdo envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo do tipo polinômio vezes função trigonométrica. Vamos precisar achar a solução geral da homogênea e depois um particular para completar a solução.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a parte homogênea
y'' + y = 0
A equação característica é r^2 + 1 = 0, com raízes r = pm i. Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1cos t + C2sin t

Passo 3

Agora precisamos de um particular para o lado direito 2tsin t. Como o termo é um polinômio de grau 1 em t multiplicado por sin t, o palpite usual seria
yp(t) = (At + B)cos t + (Ct + D)sin t
Porém sin t e cos t estão na solução homogênea, caracterizando ressonância. Então multiplicamos o palpite por t, ficando
yp(t) = (a t^2 + b t)cos t + (c t^2 + d t)sin t

Passo 4

Para determinar a,b,c,d calculamos as derivadas de yp e substituímos em y''+y=2tsin t. Denotando
U(t)=a t^2 + b t,
V(t)=c t^2 + d t,
temos
yp = Ucos t + Vsin t,
yp' = (U'+V)cos t + (V'-U)sin t,
yp'' = (U''+V' + V'-U)cos t + (V''-U' - (U'+V))sin t
Agrupando em cos t e sin t e somando yp, obtemos
yp'' + yp = [4c,t + 2(a+d)]cos t + [-4a,t + 2(c-b)]sin t

Passo 5

Igualando este resultado a 2tsin t = 0cdotcos t + 2tsin t, obtemos o sistema
4c = 0,
2(a+d)=0,
-4a = 2,
2(c-b)=0
Daqui vem
c=0, a=-tfrac12, b=0 e d=-a=tfrac12.

Passo 6

Substituindo em yp achamos
yp(t) = -tfrac12,t^2cos t + tfrac12,tsin t
Portanto a solução geral fica
y(t) = C1cos t + C2sin t - tfrac12,t^2cos t + tfrac12,tsin t

Resposta

y(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t - \tfrac12,t^2\cos t + \tfrac12,t\sin t

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