Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Neste exercício vamos usar o método dos coeficientados indeterminados para a equação
O conteúdo envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo do tipo polinômio vezes função trigonométrica. Vamos precisar achar a solução geral da homogênea e depois um particular para completar a solução.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a parte homogênea
A equação característica é
, com raízes
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Agora precisamos de um particular para o lado direito
. Como o termo é um polinômio de grau 1 em
multiplicado por
, o palpite usual seria
Porém
e
estão na solução homogênea, caracterizando ressonância. Então multiplicamos o palpite por
, ficando
Passo 4
Para determinar
calculamos as derivadas de
e substituímos em
. Denotando
temos
Agrupando em
e
e somando
, obtemos
Passo 5
Igualando este resultado a
, obtemos o sistema
Daqui vem
,
,
e
.
Passo 6
Substituindo em
achamos
Portanto a solução geral fica
Resposta
y(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t - \tfrac12,t^2\cos t + \tfrac12,t\sin t