Calcule a integral dupla integral duplaR cos (x^2+y^2) d A, onde a região R está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência x^2+y^2=4 e pelos eixos coordenados.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR cosl(x^2+y^2r),dA
onde R é o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante, ou seja
R=l(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x^2+y^2<=4r
O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas polares, já que a região é circular e a função depende de x^2+y^2.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta,
com o Jacobiano dA = r,dr,dtheta. Como estamos no primeiro quadrante e até r=2, os limites são
0 <= theta <= pi2, 0 <= r <= 2
A integral vira
integral duplaRcosl(x^2+y^2r),dA =integraltheta=0^pi/2integralr=0^2cosl(r^2r),r,dr,dtheta

Passo 3

Para a integral interna em r, use a substituição u=r^2, logo du=2r,dr ou r,dr=tfrac12,du. Assim
integral0^2cosl(r^2r),r,dr =12integralu=0^4cos(u),du =12l[sin(u)r]0^4 =sin(4)2

Passo 4

Agora a integral em theta é trivial, pois o resultado anterior não depende de theta:
integral0^pi/2sin(4)2,dtheta =sin(4)2,l[thetar]0^pi/2 =sin(4)2cdotpi2 =pi,sin(4)4

Resposta

integral duplaRcosl(x^2+y^2r),dA =pi,sin(4)4

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