Calcule a integral dupla
, onde a região
está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o quarto de disco de raio
no primeiro quadrante, ou seja
O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas polares, já que a região é circular e a função depende de
.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
com o Jacobiano
. Como estamos no primeiro quadrante e até
, os limites são
A integral vira
Passo 3
Para a integral interna em
, use a substituição
, logo
ou
. Assim
Passo 4
Agora a integral em
é trivial, pois o resultado anterior não depende de
: