Para as funções dadas abaixo calcule lim h 0 f(x+h)-f(x)h.
Use a definição para encontrar a primeira derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=sinh (a x), a in R

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a derivada de f(x)=sinh(ax) usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
O conteúdo envolve propriedades de funções hiperbólicas e limites.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferença:
f(x+h)-f(x)h =sinhl(a(x+h)r)-sinh(ax)h =sinh(ax+ah)-sinh(ax)h
Usamos a fórmula de soma para sinh:
sinh(u+v)=sinh(u)cosh(v)+cosh(u)sinh(v)

Passo 3

Aplicando a fórmula com u=ax e v=ah, obtemos
sinh(ax+ah)=sinh(ax)cosh(ah)+cosh(ax)sinh(ah)
Logo o numerador fica
sinh(ax)l[cosh(ah)-1r]+cosh(ax),sinh(ah),
e o quociente
sinh(ax)l[cosh(ah)-1r]h +cosh(ax),sinh(ah)h

Passo 4

Precisamos dos limites básicos
limhto0sinh(ah)h=a, limhto0cosh(ah)-1h=0

Passo 5

Ao tomar hto0, o primeiro termo anula e o segundo dá acosh(ax). Portanto
f'(x)=acosh(ax)

Resposta

f'(x)=acosh(ax)

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