Para as funções dadas abaixo calcule lim h 0 f(x+h)-f(x)h.
Use a definição para encontrar a primeira derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=ln (x+1)

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição de derivada, isto é
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h,
no caso com f(x)=ln(x+1). Vamos montar o quociente de diferença e simplificar usando propriedades do logaritmo.

Passo 2

Escrevemos o quociente de definição:
f(x+h)-f(x)h =lnl((x+1)+hr)-ln(x+1)h

Passo 3

Aplicando a propriedade ln a-ln b=ln!l(tfracabr), obtemos
lnl(x+1+hx+1r)h

Passo 4

Reescrevemos o argumento do logaritmo isolando h:
ln!l(1 + tfrachx+1r)h

Passo 5

Para usar o limite conhecido limuto0ln(1+u)u=1, fazemos
ln!l(1 + tfrachx+1r)h =ln!l(1 + tfrachx+1r)tfrachx+1cdot1x+1

Passo 6

Como hto0 implica tfrachx+1to0, o primeiro fator tende a 1. Logo
f'(x) =limhto0f(x+h)-f(x)h =1x+1

Resposta

f'(x)=1x+1

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