(2,0) Calcule a integral dupla integral duplaR x cos y d A. onde R é o retângulo [0,1] x[-pi2, pi2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaR x cos y , dA, onde R é o retângulo definido por 0 <= x <= 1 e -pi2 <= y <= pi2. Para isso, vamos usar o conceito de integração dupla, que nos permite calcular áreas ou volumes em regiões bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral dupla. A integral integral duplaR x cos y , dA representa a soma de todos os valores da função x cos y dentro do retângulo R. Para resolver isso, podemos transformar a integral dupla em duas integrais simples, uma de cada vez. Isso se chama integração iterada.

Passo 3

Vamos escolher a ordem das integrais. Aqui, começaremos integrando em relação a x e depois em relação a y. Então, a integral dupla fica:
integral duplaR x cos y , dA = integraly=-pi2^pi2 integralx=0^1 x cos y , dx , dy

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna, que é a integração com relação a x:
integralx=0^1 x cos y , dx
Aqui, cos y é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a x. A antiderivada de x em relação a x é x^22. Então:
integral0^1 x cos y , dx = cos y [ x^22 ]0^1 = cos y ( 12 - 0 ) = cos y2

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integraly=-pi2^pi2 cos y2 , dy = 12 integral-pi2^pi2 cos y , dy
Vamos integrar cos y em relação a y. A antiderivada de cos y é sin y. Então:
12 [ sin y ]-pi2^pi2 = 12 ( sin(pi2) - sin(-pi2) )
Sabemos que sin(pi2) = 1 e sin(-pi2) = -1, então:
12 (1 - (-1)) = 12 times 2 = 1

Resposta

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