Calcule a integral dupla
. onde R é o retângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde
é o retângulo definido por
e
. Para isso, vamos usar o conceito de integração dupla, que nos permite calcular áreas ou volumes em regiões bidimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral dupla. A integral
representa a soma de todos os valores da função
dentro do retângulo
. Para resolver isso, podemos transformar a integral dupla em duas integrais simples, uma de cada vez. Isso se chama integração iterada.
Passo 3
Vamos escolher a ordem das integrais. Aqui, começaremos integrando em relação a
e depois em relação a
. Então, a integral dupla fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna, que é a integração com relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
. A antiderivada de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos integrar
em relação a
. A antiderivada de
é
. Então:
Sabemos que
e
, então: