Terceira Avaliação
Encontre uma função f(n) que identifica o n-ésimo an da sequência definida recursivamente como a1=1 e an+1=(n+1) an para n >= 1.

Passo 1

O enunciado pede o termo geral de uma sequência definida por recursão: temos a1=1 e an+1=(n+1)an para n>=1. O conteúdo principal é entender recursões de primeiro ordem e sua relação com o fatorial.

Passo 2

Para reconhecer o padrão, vamos calcular os primeiros termos:
a1=1
a2=2cdot a1=2
a3=3cdot a2=6
a4=4cdot a3=24
a5=5cdot a4=120

Passo 3

Observamos que esses valores coincidem com o fatorial:
1=1!, 2=2!, 6=3!, 24=4!, 120=5!.
Portanto, conjecturamos que an = n!.

Passo 4

Para confirmar essa fórmula, fazemos prova por indução:
Base ( n=1): a1=1=1!.
Passo indutivo: suponha ak=k!. Então
$$
a_{k+1}=(k+1)a_k=(k+1)\cdot k!=(k+1)!$$
Logo vale para ak+1=(k+1)ak=(k+1)cdot k!=(k+1)!.

Passo 5

Concluímos que a fórmula an = n! satisfaz a recursão e, portanto, é o termo geral procurado.

Resposta

f(n)=n!

Exercícios relacionados