Terceira Avaliação
Encontre uma função
que identifica o n-ésimo
da sequência definida recursivamente como
e
para
.
Encontre uma função
Passo 1
O enunciado pede o termo geral de uma sequência definida por recursão: temos
e
para
. O conteúdo principal é entender recursões de primeiro ordem e sua relação com o fatorial.
Passo 2
Para reconhecer o padrão, vamos calcular os primeiros termos:
Passo 3
Observamos que esses valores coincidem com o fatorial:
,
,
,
,
.
Portanto, conjecturamos que .
Portanto, conjecturamos que
Passo 4
Para confirmar essa fórmula, fazemos prova por indução:
Base ( ):
.
Passo indutivo: suponha . Então
Base (
Passo indutivo: suponha
$$
a_{k+1}=(k+1)a_k=(k+1)\cdot k!=(k+1)!$$
Logo vale para .
Logo vale para
Passo 5
Concluímos que a fórmula
satisfaz a recursão e, portanto, é o termo geral procurado.
Resposta
f(n)=n!