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Determine o conjunto dos pontos de seu domínio em que a função f é contínua. Justifique.
(a) f(x)=clsen(x^2-4)+5, & se x>2 x^2+x-6x-2, & se x<2 5, & se x=2
(b) f(x)=cl|x^2-4 x+3|x-3 & , se x neq 3 1 & , se x=3
© f(x)=ccx^2+x-2(x-1)^2 & , se x neq 1 0 & , se x=1
(d) f(x)=1+(-1)^[x]2 sen(pi x).
Obs.: [x] denota o maior inteiro menor que ou igual a x, definido por [x]=max n in Z: n <= x.
Resp.: a) R ; b) $\mathbb{R} \backslash{3} ; c) $\mathbb{R} \backslash{1} ; d) R backslash3 ; c)

Passo 1

Vamos resolver onde cada função é contínua, usando conceitos de limite e continuidade de funções elementares definidas por partes.

Passo 2

Para o item (a), note que f(x)=sin(x^2-4)+5 é contínua em (2,infty) e f(x)=x^2+x-6x-2 é contínua em ( -infty,2). Como x^2+x-6x-2=x+3 para xneq2, o limite à esquerda em xto2^- é 2+3=5. O limite à direita em xto2^+ de sin(x^2-4)+5 também é 5. Como f(2)=5, a função cola sem salto, logo é contínua em x=2. Concluímos que (a) é contínua em R.

Passo 3

No item (b), fatoramos x^2-4x+3=(x-1)(x-3) e escrevemos f(x)=|(x-1)(x-3)|x-3. Para x<1 e x>3 o sinal do produto é positivo e f(x)=x-1. Para 1 é negativo e f(x)=1-x. Sendo funções lineares, f é contínua em Rsetminus1,3. Em x=1 temos f(1)=0 e limxto1f(x)=0, então é contínua em 1. Em x=3 os limites laterais são limxto3^-(1-x)=-2 e limxto3^+(x-1)=2, diferentes, logo descontinuidade em 3. Assim (b) é contínua em Rsetminus3.

Passo 4

No item ©, note que x^2+x-2=(x+2)(x-1), de modo que para xneq1
f(x)=(x+2)(x-1)(x-1)^2=x+2x-1

Passo 5

Essa função é contínua em Rsetminus1. Ao analisar xto1 vemos que o limite diverge (denominador vai a zero), logo há descontinuidade em 1. Portanto © é contínua em Rsetminus1.

Passo 6

No item (d), definimos
g(x)=1+(-1)^[x]2,
que vale 1 quando [x] é par e 0 quando [x] é ímpar. Assim f(x)=g(x)sin(pi x) é produto de uma função em escada e sin(pi x). Em cada intervalo [n,n+1) com n fixo, g é constante e sin(pi x) é contínua, logo f é contínua dentro de cada intervalo. Nos pontos inteiros k, temos sin(pi k)=0, de modo que os limites laterais de f(x) são sempre 0 e igual a f(k)=0. Assim não há salto em nenhum inteiro. Logo (d) é contínua em R.

Resposta

a) R; b) Rsetminus3; c) Rsetminus1; d) R.

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