Calcule a integral dupla integral duplaR f(x, y) d x d y, onde f e R são dados, em cada um dos seguintes itens. Esboce a região R.
f(x, y)=x sen y, R é a região limitada por y=0, y=x e x=pi;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A nossa missão é calcular a integral de $ f(x, y) = x \sin y $ sobre a região f(x, y) = x sin y , que é delimitada por $ y = 0 $, $ y = x $ e $ x = \pi $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e entender bem como definir os limites de integração para a região dada.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar ou desenhar a região R. Temos três limites:
  • $ y = 0 $: é o eixo x.
  • $ y = x $: é uma reta que passa pela origem com inclinação 45°.
  • $ x = \pi $: é uma linha vertical no ponto $ x = \pi $.
Então, y = 0 é o triângulo formado entre o eixo x, a reta $ y = x $ e a linha vertical $ x = \pi $.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Podemos integrar em relação a $ y $ primeiro e depois a $ x $, ou vice-versa. Aqui, fica mais fácil integrar $ y $ de baixo para cima (de $ y = 0 $ até $ y = x $) e $ x $ de $ 0 $ até $ \pi $. Assim, nossa integral fica:
y

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a $ y $. A função a integrar é $ x \sin y $. Como $ x $ é uma constante em relação a $ y $, a integral fica:
y

Passo 5

Agora, temos que integrar o resultado em relação a $ x $:
x
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeiro:
integral0^pi x (1 - cos x) , dx = integral0^pi x , dx - integral0^pi x cos x , dx
Segundo, para integral0^pi x , dx = [ x^22 ]0^pi = pi^22 , usamos integração por partes:
Seja $ u = x $ então $ du = dx $
E $ dv = \cos x , dx $ então $ v = \sin x $
Aplicando integração por partes:
integral x cos x , dx
Avaliando de $ 0 $ a $ \pi $:
u = x
Então, temos:
du = dx
Voltando à integral original:
dv = cos x , dx

Resposta

A integral dupla é igual a $ \frac{\pi^2}{2} + 2 $.

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