Calcule a integral dupla
, onde
e
são dados, em cada um dos seguintes itens. Esboce a região
.
é a região limitada por
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A nossa missão é calcular a integral de $ f(x, y) = x \sin y $ sobre a região
, que é delimitada por $ y = 0 $, $ y = x $ e $ x = \pi $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e entender bem como definir os limites de integração para a região dada.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar ou desenhar a região
. Temos três limites:
- $ y = 0 $: é o eixo x.
- $ y = x $: é uma reta que passa pela origem com inclinação 45°.
- $ x = \pi $: é uma linha vertical no ponto $ x = \pi $.
Então,
é o triângulo formado entre o eixo x, a reta $ y = x $ e a linha vertical $ x = \pi $.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Podemos integrar em relação a $ y $ primeiro e depois a $ x $, ou vice-versa. Aqui, fica mais fácil integrar $ y $ de baixo para cima (de $ y = 0 $ até $ y = x $) e $ x $ de $ 0 $ até $ \pi $. Assim, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a $ y $. A função a integrar é $ x \sin y $. Como $ x $ é uma constante em relação a $ y $, a integral fica:
Passo 5
Agora, temos que integrar o resultado em relação a $ x $:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeiro:
Segundo, para
, usamos integração por partes:
Seja $ u = x $ então $ du = dx $
E $ dv = \cos x , dx $ então $ v = \sin x $
Aplicando integração por partes:
Avaliando de $ 0 $ a $ \pi $:
Então, temos:
Voltando à integral original:
Resposta
A integral dupla é igual a $ \frac{\pi^2}{2} + 2 $.