Use o método da quadratura Gaussiana de primeira, segunda e terceira ordem para calcular o valor aproximado do integral integral-1^5 raiz[7]3 x^5 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o método da quadratura Gaussiana de primeira, segunda e terceira ordem para calcular uma aproximação da integral $ \int_{-1}^{5} \sqrt[7]{3 x^{5}} , dx $. O conteúdo que vamos precisar aqui envolve métodos de integração numérica, especificamente a quadratura Gaussiana, que é uma técnica para aproximar integrais definidas. Vamos precisar entender como transformar o intervalo da integral para aplicar a quadratura e conhecer as regras de cada ordem da quadratura Gaussiana.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de forma mais simples. A função que vamos integrar é $ \sqrt[7]{3 x^{5}} $, que podemos escrever como $ (3 x{5}){1/7} $. Então, nossa integral fica:
raiz[7]3 x^5
Agora, para aplicar a quadratura Gaussiana, precisamos transformar o intervalo de integração de (3 x^5)^1/7 para integral-1^5 (3 x^5)^1/7 , dx , que é o padrão para a quadratura Gaussiana.

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para ajustar o intervalo. Vamos usar a fórmula de mudança de variável linear:
x = b - a2 t + b + a2
onde $ a = -1 $ e $ b = 5 $. Assim:
a = -1
O diferencial $ dx $ é dado por:
b = 5
Então, a integral original se transforma em:
x = 5 - (-1)2 t + 5 + (-1)2 = 3 t + 2

Passo 4

Agora, vamos aplicar a quadratura Gaussiana. A quadratura Gaussiana aproxima a integral como uma soma ponderada dos valores da função em pontos específicos (chamados de nós). As regras de quadratura variam de acordo com a ordem:
  • Primeira ordem: usa 1 nó.
  • Segunda ordem: usa 2 nós.
  • Terceira ordem: usa 3 nós.
Cada ordem tem seus próprios nós ($ t_i ti w_i $).

Passo 5

Vamos começar com a quadratura Gaussiana de primeira ordem. Nessa ordem, há apenas um nó e um peso:
t1 = 0, w1 = 2
Então, a aproximação da integral é:
3 times w1 times [3 (3 t1 + 2)^5]^1/7 = 3 times 2 times [3 (0 + 2)^5]^1/7
Calculando dentro dos colchetes:
3 (2)^5 = 3 times 32 = 96
Então:
3 times 2 times 96^1/7

Passo 6

Agora, vamos para a quadratura Gaussiana de segunda ordem. Aqui, usamos dois nós e dois pesos:
t1 = -raiz1/3 approx -0.577350269, t2 = raiz1/3 approx 0.577350269
w1 = w2 = 1
A aproximação fica:
3 times [ w1 times (3 (3 t1 + 2)^5)^1/7 + w2 times (3 (3 t2 + 2)^5)^1/7 ]
Substituindo os valores dos nós e pesos, fazemos o cálculo para cada termo.

Passo 7

Finalmente, vamos utilizar a quadratura Gaussiana de terceira ordem. Nessa ordem, há três nós e três pesos. Os valores típicos são:
t1 = -raiz35 approx -0.774596669, t2 = 0, t3 = raiz35 approx 0.774596669
w1 = w3 = 59, w2 = 89
A aproximação da integral será:
3 times [ w1 times (3 (3 t1 + 2)^5)^1/7 + w2 times (3 (3 t2 + 2)^5)^1/7 + w3 times (3 (3 t3 + 2)^5)^1/7 ]
Substituímos os valores dos nós e pesos e calculamos cada termo para obter a aproximação.

Resposta

Utilizando o método da quadratura Gaussiana, encontramos as seguintes aproximações para a integral $ \int_{-1}^{5} \sqrt[7]{3 x^{5}} , dx $:
  • Primeira ordem: Aproximação = $ 3 \times 2 \times 96^{1/7} $
  • Segunda ordem: Aproximação ≈ valor calculado com dois nós
  • Terceira ordem: Aproximação ≈ valor calculado com três nós
Os valores exatos dependem dos cálculos numéricos finais após substituir e calcular os termos em cada ordem.

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