Use o método da quadratura Gaussiana de primeira, segunda e terceira ordem para calcular o valor aproximado do integral
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o método da quadratura Gaussiana de primeira, segunda e terceira ordem para calcular uma aproximação da integral $ \int_{-1}^{5} \sqrt[7]{3 x^{5}} , dx $. O conteúdo que vamos precisar aqui envolve métodos de integração numérica, especificamente a quadratura Gaussiana, que é uma técnica para aproximar integrais definidas. Vamos precisar entender como transformar o intervalo da integral para aplicar a quadratura e conhecer as regras de cada ordem da quadratura Gaussiana.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de forma mais simples. A função que vamos integrar é $ \sqrt[7]{3 x^{5}} $, que podemos escrever como $ (3 x{5}){1/7} $. Então, nossa integral fica:
Agora, para aplicar a quadratura Gaussiana, precisamos transformar o intervalo de integração de
para
, que é o padrão para a quadratura Gaussiana.
Passo 3
Vamos fazer uma mudança de variável para ajustar o intervalo. Vamos usar a fórmula de mudança de variável linear:
onde $ a = -1 $ e $ b = 5 $. Assim:
O diferencial $ dx $ é dado por:
Então, a integral original se transforma em:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a quadratura Gaussiana. A quadratura Gaussiana aproxima a integral como uma soma ponderada dos valores da função em pontos específicos (chamados de nós). As regras de quadratura variam de acordo com a ordem:
- Primeira ordem: usa 1 nó.
- Segunda ordem: usa 2 nós.
- Terceira ordem: usa 3 nós.
Cada ordem tem seus próprios nós ($ t_i
w_i $).
Passo 5
Vamos começar com a quadratura Gaussiana de primeira ordem. Nessa ordem, há apenas um nó e um peso:
Então, a aproximação da integral é:
Calculando dentro dos colchetes:
Então:
Passo 6
Agora, vamos para a quadratura Gaussiana de segunda ordem. Aqui, usamos dois nós e dois pesos:
A aproximação fica:
Substituindo os valores dos nós e pesos, fazemos o cálculo para cada termo.
Passo 7
Finalmente, vamos utilizar a quadratura Gaussiana de terceira ordem. Nessa ordem, há três nós e três pesos. Os valores típicos são:
A aproximação da integral será:
Substituímos os valores dos nós e pesos e calculamos cada termo para obter a aproximação.
Resposta
Utilizando o método da quadratura Gaussiana, encontramos as seguintes aproximações para a integral $ \int_{-1}^{5} \sqrt[7]{3 x^{5}} , dx $:
- Primeira ordem: Aproximação = $ 3 \times 2 \times 96^{1/7} $
- Segunda ordem: Aproximação ≈ valor calculado com dois nós
- Terceira ordem: Aproximação ≈ valor calculado com três nós
Os valores exatos dependem dos cálculos numéricos finais após substituir e calcular os termos em cada ordem.