Calcule a integral dupla integral duplaR f(x, y) d x d y, fazendo uma mudança de variáveis apropriada, onde f e R são dados, em cada um dos seguintes itens.
f(x, y)=(x+y) e^x^2-y^2, R é a região retangular limitada pelas retas x-y=0, x-y=1, x+y=0 e x+y=3;

Passo 1

Temos que calcular a integral dupla integral duplaR(x+y)e^x^2-y^2,dx,dy sobre a região limitada por x-y=0, x-y=1, x+y=0 e x+y=3. O conteúdo aqui é mudança de variáveis para transformar essa região num retângulo em variáveis novas.

Passo 2

Definimos as variáveis u=x-y e v=x+y. Invertendo:
x=v+u2, y=v-u2,

Passo 3

e o Jacobiano é
J=detxu & xvyu & yv=12cdot12-l(-12r)cdot12=12

Passo 4

Reescrevendo a função e a região: como x+y=v e x^2-y^2=(x+y)(x-y)=uv, temos f(x,y)=v e^uv. A região vira o retângulo
0<= u<=1,0<= v<=3, e dx,dy=|J|,du,dv=tfrac12,du,dv. Então a integral fica
integral duplaRf,dx,dy =12integralu=0^1integralv=0^3v e^uv,dv,du

Passo 5

Para integrar em v, usamos integração por partes:
integral v e^uvdv=e^uvl( v u-1u^2r)+C Aplicando de v=0 a v=3
integral0^3v e^uvdv =e^3ul(3u-1u^2r)-l(0-1u^2r) =e^3ul(3u-1u^2r)+1u^2

Passo 6

Logo a integral vira
12integral0^1l[e^3ul(3u-1u^2r)+1u^2r]du

Passo 7

Observamos que o integrando é a derivada de
e^3u-1u pois
ddul(e^3u-1ur) =e^3u(3u-1)+1u^2 =e^3ul(3u-1u^2r)+1u^2 Portanto
integral0^1l[e^3ul(3u-1u^2r)+1u^2r]du =l[e^3u-1ur]0^1 =(e^3-1)-limuto0e^3u-1u =e^3-1-3=e^3-4 Multiplicando pelo tfrac12 final temos o resultado.

Resposta

e^3-42

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