Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe (justifique!):
lim (x, y) (0,0) raizx+3-raiz3x y+x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um limite envolvendo duas variáveis, x e y, que está se aproximando de (0,0). O enunciado é:
lim (x, y) (0,0) raizx+3-raiz3x y+x
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e analisar o comportamento dela quando x e y se aproximam de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que acontece quando substituímos x = 0 e y = 0 diretamente na expressão:
raiz0+3-raiz30 cdot 0 + 0 = raiz3 - raiz30 = 00
Isso nos dá uma forma indeterminada ( 00), então precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para lidar com raízes é racionalizar o numerador. Vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador:
raizx+3-raiz3x y+x times raizx+3+raiz3raizx+3+raiz3 = (raizx+3-raiz3)(raizx+3+raiz3)(x y+x)(raizx+3+raiz3)
No numerador, aplicamos a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2:
(x + 3) - 3(x y + x)(raizx+3+raiz3) = xx y + x cdot 1raizx+3+raiz3

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração xx y + x. Podemos fatorar o x no denominador:
xx(y + 1) = 1y + 1
Então, nossa expressão fica:
1y + 1 cdot 1raizx+3+raiz3 = 1(y + 1)(raizx+3+raiz3)

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite dessa nova expressão quando (x, y) (0,0):
  • Quando y 0, y + 1 1.
  • Quando x 0, raizx + 3 raiz3, então raizx + 3 + raiz3 2raiz3.
Substituindo esses valores na expressão simplificada:
1(1)(2raiz3) = 12raiz3

Resposta

O limite existe e é igual a 12raiz3.

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