Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe (justifique!):
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um limite envolvendo duas variáveis,
e
, que está se aproximando de
. O enunciado é:
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e analisar o comportamento dela quando
e
se aproximam de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o que acontece quando substituímos
e
diretamente na expressão:
Isso nos dá uma forma indeterminada (
), então precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Uma técnica útil para lidar com raízes é racionalizar o numerador. Vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador:
No numerador, aplicamos a identidade
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a fração
. Podemos fatorar o
no denominador:
Então, nossa expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite dessa nova expressão quando
:
- Quando
, . - Quando
, , então .
Substituindo esses valores na expressão simplificada:
Resposta
O limite existe e é igual a
.