Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe (justifique!):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o limite da função $ f(x, y) = \frac{x{2}}{\sqrt{x{2}+y^{2}}} $ quando
se aproxima de
. Estamos trabalhando com limites em funções de duas variáveis, que faz parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, uma dica importante: quando temos funções de duas variáveis, uma boa estratégia é usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, substituímos
e
, onde
é a distância ao ponto
e
é o ângulo. Isso simplifica a análise do limite quando
tende a zero.
Passo 3
Vamos reescrever a função $ f(x, y) $ usando coordenadas polares:
Simplificando o denominador:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, analisamos o comportamento de $ f(r, \theta) = r \cos^{2}(\theta) $ quando $ r $ tende a zero. Note que $ \cos^{2}(\theta) $ está sempre entre 0 e 1, independente do valor de $ \theta $. Portanto, à medida que $ r $ diminui, o produto $ r \cos^{2}(\theta) $ também tende a zero, já que $ r $ está multiplicando algo que não explode.
Passo 5
Como o limite da função $ f(r, \theta) $ é zero independentemente do valor de $ \theta $, isso significa que, não importa o caminho pelo qual nos aproximamos de
, o limite será sempre o mesmo: zero. Assim, o limite existe e é igual a zero.
Resposta
O limite é igual a
.