Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe (justifique!):
lim (x, y) (0,0) x^2raizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o limite da função $ f(x, y) = \frac{x{2}}{\sqrt{x{2}+y^{2}}} $ quando f(x, y) = x^2raizx^2+y^2 se aproxima de (x, y). Estamos trabalhando com limites em funções de duas variáveis, que faz parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, uma dica importante: quando temos funções de duas variáveis, uma boa estratégia é usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, substituímos x = r cos(theta) e y = r sin(theta), onde r é a distância ao ponto (0,0) e theta é o ângulo. Isso simplifica a análise do limite quando r tende a zero.

Passo 3

Vamos reescrever a função $ f(x, y) $ usando coordenadas polares:
f(x, y)
Simplificando o denominador:
f(r, theta) = (r cos(theta))^2raiz(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2
Então, a função fica:
raizr^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) = raizr^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) = raizr^2 = r

Passo 4

Agora, analisamos o comportamento de $ f(r, \theta) = r \cos^{2}(\theta) $ quando $ r $ tende a zero. Note que $ \cos^{2}(\theta) $ está sempre entre 0 e 1, independente do valor de $ \theta $. Portanto, à medida que $ r $ diminui, o produto $ r \cos^{2}(\theta) $ também tende a zero, já que $ r $ está multiplicando algo que não explode.

Passo 5

Como o limite da função $ f(r, \theta) $ é zero independentemente do valor de $ \theta $, isso significa que, não importa o caminho pelo qual nos aproximamos de f(r, theta) , o limite será sempre o mesmo: zero. Assim, o limite existe e é igual a zero.

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados