Calcule a integral dupla integral duplaR f(x, y) d x d y, fazendo uma mudança de variáveis apropriada, onde f e R são dados, em cada um dos seguintes itens.
f(x, y)=cos (y-xy+x), R é a região trapezoidal com vértices (1,0), (2,0),(0,2) e (0,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR cosl(tfracy - xy + xr),dx,dy sobre o trapézio de vértices (1,0),(2,0),(0,2),(0,1), usando mudança de variáveis. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas e vamos precisar do jacobiano e de mapear R num novo sistema (u,v).

Passo 2

Escolhemos a transformação que simplifica o argumento do cosseno: definimos u = y - x e v = y + x. Invertendo essas fórmulas obtemos
x = v - u2, y = v + u2

Passo 3

Calculamos o jacobiano J = l|partial(x,y)/partial(u,v)r|. A matriz de derivadas parciais é
partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = -tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 ,
cujo determinante é -tfrac12, portanto lvert Jrvert = tfrac12 e dx,dy = tfrac12,du,dv.

Passo 4

Mapeamos os vértices de R para (u,v):
(1,0)to(-1,1), (2,0)to(-2,2),(0,1)to(1,1),(0,2)to(2,2)
Isso mostra que no plano (u,v) a região é
1 <= v <= 2, -v <= u <= v

Passo 5

A integral fica então
integral duplaRcosl(tfracy-xy+xr),dx,dy = integralv=1^2integralu=-v^v cosl(tfracuvr)cdot tfrac12,du,dv

Passo 6

Para cada v fixo, fazemos t = u/v em u-subintegração: du = v,dt e quando u=pm v, t=pm1. Assim
integral-v^vcosl(tfracuvr),du = integral-1^1cos(t),v,dt = vl[sin(t)r]-1^1 = 2vsin(1)

Passo 7

Incluindo o fator tfrac12 do jacobiano, o integral vira
integral1^2 tfrac12cdot 2vsin(1),dv = sin(1)integral1^2 v,dv = sin(1)l[tfracv^22r]1^2 = tfrac32sin(1)

Resposta

tfrac32sin(1)

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