Calcule a integral dupla , fazendo uma mudança de variáveis apropriada, onde e são dados, em cada um dos seguintes itens. é a região trapezoidal com vértices , e .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o trapézio de vértices , usando mudança de variáveis. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas e vamos precisar do jacobiano e de mapear num novo sistema .
Passo 2
Escolhemos a transformação que simplifica o argumento do cosseno: definimos e . Invertendo essas fórmulas obtemos
Passo 3
Calculamos o jacobiano . A matriz de derivadas parciais é
partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = -tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 ,
cujo determinante é -tfrac12, portanto lvert Jrvert = tfrac12 e dx,dy = tfrac12,du,dv.