Encontre o valor de a para que a função dada seja contínua em (0,0) :
f(x, y)= (x^2+y^2) sen(1x y) & se (x, y) neq(0,0) a & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de a para que a função seja contínua em (0,0). Isso cai no tema de continuidade de funções de duas variáveis e precisamos calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)→(0,0) e igualar a esse valor.

Passo 2

Para (x,y)≠(0,0) temos f(x,y)=(x2+y2)
sinl(tfrac1xyr)
Como sinl(tfrac1xyr) está sempre entre –1 e 1, podemos usar o Teorema do Confronto.

Passo 3

Pelo Teorema do Confronto, como
-(x^2+y^2)<= (x^2+y^2)sinl(tfrac1xyr)<= x^2+y^2
e x^2+y^2to0 quando (x,y)→(0,0), segue que
lim(x,y)to(0,0)(x^2+y^2)sinl(tfrac1xyr)=0

Passo 4

Para que f seja contínua em (0,0), precisa valer f(0,0)=lim_{(x,y)→(0,0)}f(x,y). Logo, a deve ser igual a 0.

Resposta

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