Utilize coordenadas polares para determinar os limites (Dica: note que se ( r, theta ) são as coordenadas polares do ponto (x, y)
& x=r cos (theta) & y=r sen(theta) , r >= 0, theta in[0,2 pi)
então r 0+ quando (x, y) (0,0), pois x^2+y^2= r^2) :
lim (x, y) (0,0) x^3+y^3x^2+y^2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos encontrar o limite de duas variáveis lim(x,y)to(0,0)x^3+y^3x^2+y^2. O conteúdo principal é limite em R^2 e vamos usar coordenadas polares para reescrever a expressão em termos de r e theta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos as definições
x = rcos(theta),
y = rsin(theta),
com r>=0 e thetain[0,2pi). Além disso
x^2 + y^2 = r^2,
e então rto0^+ equivale a (x,y)to(0,0).

Passo 3

Substituindo em numerador e denominador:
x^3 + y^3 = r^3l(cos^3theta + sin^3thetar),
x^2 + y^2 = r^2
Logo a fração vira
x^3+y^3x^2+y^2 = r^3(cos^3theta+sin^3theta)r^2 = r,(cos^3theta+sin^3theta)

Passo 4

Como cos^3theta+sin^3theta é limitada (pois |cos^3theta+sin^3theta|<=2), o fator dominante é r. Quando rto0^+, o produto r(cos^3theta+sin^3theta) tende a zero para qualquer theta. Assim o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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