Utilize coordenadas polares para determinar os limites (Dica: note que se ( r, theta ) são as coordenadas polares do ponto (x, y)
& x=r cos (theta) & y=r sen(theta) , r >= 0, theta in[0,2 pi)
então r 0+ quando (x, y) (0,0), pois x^2+y^2= r^2) :
lim (x, y) (0,0) e^-1 /(x^2+y^2)

Passo 1

O exercício pede para calcular lim(x,y)to(0,0) e^-1/(x^2 + y^2) usando coordenadas polares. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis, e a técnica principal será a mudança para coordenadas polares, já que (x,y)to(0,0) equivale a rto0+.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = rcos(theta), y = rsin(theta),
com r>=0 e thetain[0,2pi). Assim,
x^2 + y^2 = r^2
Substituindo na função original, obtemos
e^-1/(x^2+y^2) = e^-1/r^2

Passo 3

Agora avaliamos o limite quando rto0+. Observamos que
1r^2to +infty e -1r^2to -infty
Como limtto-inftye^t=0, concluímos que
limrto0+e^-1/r^2=0

Resposta

0

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