Calcule a integral dupla integral duplaR f(x, y) d x d y, onde f e R são dados, em cada um dos seguintes itens. Esboce a região R.
f(x, y)=2 x-y, R é a região limitada pela circunferência centrada na origem e raio 2 ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR(2x - y),dx,dy, onde R é o disco de raio 2 centrado na origem. O conteúdo aqui envolve propriedades de simetria de integrais duplas sobre regiões simétricas e, em alternativa, coordenadas polares.

Passo 2

A região R é dada por (x,y):x^2+y^2<=4. Para esboçar, desenhe um círculo de raio 2 com centro na origem do plano xy.

Passo 3

Para calcular, note que podemos separar a integral:
integral duplaR(2x - y),dA = 2integral duplaRx,dA - integral duplaRy,dA

Passo 4

Como x é função ímpar em relação ao eixo y e y é ímpar em relação ao eixo x, ambas as integrais sobre o disco simétrico valem zero.

Passo 5

Portanto, o valor da integral dupla é zero.

Resposta

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