Seja F(x, y)=x^10 i+(3 x-10 x^9 y) j. Calcule integralgamma F cdot n d s em que gamma(t)= (cos (t), sen(t)), 0 <= t <= pi2 e n a normal com y>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de cálculo vetorial onde precisamos calcular uma integral de linha. O enunciado é: seja o campo vetorial F(x, y)=x^10 i+(3 x-10 x^9 y) j. Queremos calcular integralgamma F cdot n , ds, onde gamma(t) = (cos(t), sin(t)) para 0 <= t <= pi2 e n é o vetor normal com y > 0. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre campos vetoriais, parametrização de curvas, vetores normais e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva gamma(t) = (cos(t), sin(t)). Isso significa que x(t) = cos(t) e y(t) = sin(t). Essa parametrização nos ajuda a expressar tudo em termos de t, que varia de 0 a pi2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t. Isso é importante porque vamos precisar da velocidade da curva para calcular o vetor normal.
x'(t) = ddt[cos(t)] = -sin(t)
y'(t) = ddt[sin(t)] = cos(t)

Passo 4

O próximo passo é determinar o vetor normal n. Para uma curva parametrizada, o vetor normal pode ser obtido girando o vetor tangente no sentido anti-horário em 90 graus e normalizando.
O vetor tangente é (x'(t), y'(t)) = (-sin(t), cos(t)). Girando 90 graus, obtemos:
n(t) = (-y'(t), x'(t))raiz(x'(t))^2 + (y'(t))^2 = (-cos(t), -sin(t))raizsin^2(t) + cos^2(t) = (-cos(t), -sin(t))
Como estamos interessados na normal com y > 0, vamos considerar n(t) = (-cos(t), -sin(t)).

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot n. Substituindo x(t) e y(t) na expressão de F:
F(x(t), y(t)) = (cos^10(t), 3cos(t) - 10cos^9(t)sin(t))
Então,
F cdot n = cos^10(t) cdot (-cos(t)) + (3cos(t) - 10cos^9(t)sin(t)) cdot (-sin(t))
= -cos^11(t) - 3cos(t)sin(t) + 10cos^9(t)sin^2(t)

Passo 6

O diferencial de arco ds para uma curva parametrizada é dado por:
ds = raiz(x'(t))^2 + (y'(t))^2 , dt = raizsin^2(t) + cos^2(t) , dt = 1 cdot dt = dt
Então, a integral fica:
integralgamma F cdot n , ds = integral0^pi2 [-cos^11(t) - 3cos(t)sin(t) + 10cos^9(t)sin^2(t)] dt

Passo 7

Vamos resolver a integral termo a termo:
  1. integral0^pi2 -cos^11(t) , dt
  2. integral0^pi2 -3cos(t)sin(t) , dt
  3. integral0^pi2 10cos^9(t)sin^2(t) , dt
Vamos resolver cada uma:
  1. integral -cos^11(t) , dt = -cos^12(t)12 de 0 a pi2.
  2. integral -3cos(t)sin(t) , dt: fazemos substituição u = sin(t), então du = cos(t)dt. Ficando -3 integral u , du = -3u^22 de 0 a pi2.
  3. integral 10cos^9(t)sin^2(t) , dt: usamos a identidade sin^2(t) = 1 - cos^2(t), então:
10 integral cos^9(t)(1 - cos^2(t)) , dt = 10 ( integral cos^9(t) , dt - integral cos^11(t) , dt )
Vamos resolver essas integrais usando a fórmula para potências de cosseno.

Passo 8

Calculando cada parte:
  1. -cos^12(t)12 de 0 a pi2:
    • Em t = pi2: cos(pi2) = 0
    • Em t = 0: cos(0) = 1
    -012 + 112 = 112
  2. -3u^22 de 0 a pi2, onde u = sin(t):
    • Em t = pi2: u = 1
    • Em t = 0: u = 0
    -3(1)^22 + 3(0)^22 = -32
  3. 10 ( integral cos^9(t) , dt - integral cos^11(t) , dt ) de 0 a pi2:
    • Usando a fórmula de redução para potências ímpares: integral cos^n(t) , dt = cos^n-1(t)sin(t)n + n-1n integral cos^n-2(t) , dt
    • Aplicando isso, vemos que ambas as integrais resultam em termos que avaliam a coseno em 0 e pi2, deixando apenas constantes.
    Após calcular, obtemos:
    10 ( 110 - 112 ) = 10 ( 6 - 560 ) = 1060 = 16

Resposta

Somando todas as partes:
112 - 32 + 16 = 112 + 16 - 32 = 1 + 2 - 1812 = -1512 = -54
Então, a resposta final é:
integralgamma F cdot n , ds = -54

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