Seja
. Calcule
em que
e
a normal com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de cálculo vetorial onde precisamos calcular uma integral de linha. O enunciado é: seja o campo vetorial
. Queremos calcular
, onde
para
e
é o vetor normal com
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre campos vetoriais, parametrização de curvas, vetores normais e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Isso significa que
e
. Essa parametrização nos ajuda a expressar tudo em termos de
, que varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
. Isso é importante porque vamos precisar da velocidade da curva para calcular o vetor normal.
Passo 4
O próximo passo é determinar o vetor normal
. Para uma curva parametrizada, o vetor normal pode ser obtido girando o vetor tangente no sentido anti-horário em 90 graus e normalizando.
O vetor tangente é
. Girando 90 graus, obtemos:
Como estamos interessados na normal com
, vamos considerar
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
. Substituindo
e
na expressão de
:
Então,
Passo 6
O diferencial de arco
para uma curva parametrizada é dado por:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral termo a termo:
Vamos resolver cada uma:
-
de a . -
: fazemos substituição , então . Ficando de a . -
: usamos a identidade , então:
Vamos resolver essas integrais usando a fórmula para potências de cosseno.
Passo 8
Calculando cada parte:
-
de a : - Em
: - Em
:
- Em
-
de a , onde : - Em
: - Em
:
- Em
-
de a : - Usando a fórmula de redução para potências ímpares:
- Aplicando isso, vemos que ambas as integrais resultam em termos que avaliam a coseno em
e , deixando apenas constantes.
Após calcular, obtemos: - Usando a fórmula de redução para potências ímpares:
Resposta
Somando todas as partes:
Então, a resposta final é: