Sejam uma hipérbole horizontal de centro em ( 0,0 ) e uma elipse horizontal com mesmo centro e mesmo focos que a hipérbole. O tamanho do eixo real da elipse vale 50 e sua excentricidade vale
tamanho do eixo imaginário da hipérbole vale 4. Estas duas curvas se interceptam em 4 pontos. Determine as coordenadas dos pontos de interseção.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as coordenadas dos pontos onde uma hipérbole e uma elipse se intersectam. Ambas são centradas na origem (0,0) e compartilham os mesmos focos. A elipse tem um eixo real de comprimento 50 e uma excentricidade de 0,6, enquanto a hipérbole tem um eixo imaginário de comprimento 4. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações padrão da elipse e da hipérbole, além de entender como relacionar seus parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os parâmetros da elipse. O eixo real da elipse é 50, então o semi-eixo maior $ a $ é metade disso:
A excentricidade $ e $ da elipse é 0,6. A excentricidade está relacionada à distância dos focos $ c $ pela fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o semi-eixo menor $ b $ da elipse. Usamos a relação entre $ a $, $ b $ e $ c $:
Substituindo os valores:
Passo 4
Com $ a $ e $ b $ encontrados, podemos escrever a equação da elipse. Para uma elipse horizontal centrada na origem, a equação é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos agora focar na hipérbole. Sabemos que a hipérbole é horizontal e compartilha os mesmos focos da elipse, então $ c = 15 $. O eixo imaginário da hipérbole tem comprimento 4, então o semi-eixo menor $ b $ é metade disso:
Para a hipérbole, a relação entre $ a $, $ b $ e $ c $ é:
Substituindo os valores:
Então, a equação da hipérbole é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas resolvendo o sistema de equações:
Para facilitar, vamos multiplicar a primeira equação por 400 e a segunda por 4:
Simplificando:
Somando as duas equações para eliminar $ y^2 $:
Para resolver, vamos achar um denominador comum (5525):
Agora, substituímos $ x $ na primeira equação para encontrar $ y $:
Resposta
Os pontos de interseção são aproximadamente $ (24,79,\ 2,59) $, $ (24,79,\ -2,59) $, $ (-24,79,\ 2,59) $ e $ (-24,79,\ -2,59) $.