Sejam uma hipérbole horizontal de centro em ( 0,0 ) e uma elipse horizontal com mesmo centro e mesmo focos que a hipérbole. O tamanho do eixo real da elipse vale 50 e sua excentricidade vale 0,6.0 tamanho do eixo imaginário da hipérbole vale 4. Estas duas curvas se interceptam em 4 pontos. Determine as coordenadas dos pontos de interseção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as coordenadas dos pontos onde uma hipérbole e uma elipse se intersectam. Ambas são centradas na origem (0,0) e compartilham os mesmos focos. A elipse tem um eixo real de comprimento 50 e uma excentricidade de 0,6, enquanto a hipérbole tem um eixo imaginário de comprimento 4. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações padrão da elipse e da hipérbole, além de entender como relacionar seus parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os parâmetros da elipse. O eixo real da elipse é 50, então o semi-eixo maior $ a $ é metade disso:
a
A excentricidade $ e $ da elipse é 0,6. A excentricidade está relacionada à distância dos focos $ c $ pela fórmula:
a = 502 = 25
Substituindo os valores:
e

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o semi-eixo menor $ b $ da elipse. Usamos a relação entre $ a $, $ b $ e $ c $:
b
Substituindo os valores:
a

Passo 4

Com $ a $ e $ b $ encontrados, podemos escrever a equação da elipse. Para uma elipse horizontal centrada na origem, a equação é:
a
Substituindo os valores:
b

Passo 5

Vamos agora focar na hipérbole. Sabemos que a hipérbole é horizontal e compartilha os mesmos focos da elipse, então $ c = 15 $. O eixo imaginário da hipérbole tem comprimento 4, então o semi-eixo menor $ b $ é metade disso:
c = 15
Para a hipérbole, a relação entre $ a $, $ b $ e $ c $ é:
b
Substituindo os valores:
b = 42 = 2
Então, a equação da hipérbole é:
a

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas resolvendo o sistema de equações:
x^2625 + y^2400 = 1 x^2221 - y^24 = 1
Para facilitar, vamos multiplicar a primeira equação por 400 e a segunda por 4:
400x^2625 + y^2 = 400 4x^2221 - y^2 = 4
Simplificando:
16x^225 + y^2 = 400 4x^2221 - y^2 = 4
Somando as duas equações para eliminar $ y^2 $:
y^2
Para resolver, vamos achar um denominador comum (5525):
16x^225 + 4x^2221 = 404
Agora, substituímos $ x $ na primeira equação para encontrar $ y $:
3536x^2 + 100x^25525 = 404 3636x^2 = 404 times 5525 3636x^2 = 2,232,100 x^2 = 2,232,1003636 approx 614,5 x approx pm raiz614,5 approx pm 24,79

Resposta

Os pontos de interseção são aproximadamente $ (24,79,\ 2,59) $, $ (24,79,\ -2,59) $, $ (-24,79,\ 2,59) $ e $ (-24,79,\ -2,59) $.

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