Calcule a integral dupla
, fazendo uma mudança de variáveis apropriada, onde
e
são dados, em cada um dos seguintes itens.
é a região no semiplano superior limitada pela circunferência
;
Passo 1
A gente quer calcular a integral dupla de
sobre a região
que é o semicírculo de raio 1 no semiplano superior (ou seja,
e
). O conteúdo principal é mudança de variáveis usando coordenadas polares, e a gente vai precisar do Jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Para mudar para coordenadas polares, definimos
em que o Jacobiano é
. Como estamos no semicírculo superior,
varia de
a
e
de
a
.
Passo 3
Reescrevendo a integral em polares, a gente tem:
Passo 4
Para calcular a parte em
, usamos a substituição
, logo
, isto é
. Então:
Passo 5
Falta só integrar em
:
Multiplicando, a integral total fica