Calcule a integral dupla integral duplaR f(x, y) d x d y, fazendo uma mudança de variáveis apropriada, onde f e R são dados, em cada um dos seguintes itens.
f(x, y)=sen(x^2+y^2), R é a região no semiplano superior limitada pela circunferência x^2+y^2=1;

Passo 1

A gente quer calcular a integral dupla de sin(x^2+y^2) sobre a região R que é o semicírculo de raio 1 no semiplano superior (ou seja, x^2+y^2<=1 e y>=0). O conteúdo principal é mudança de variáveis usando coordenadas polares, e a gente vai precisar do Jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Para mudar para coordenadas polares, definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
em que o Jacobiano é J = r. Como estamos no semicírculo superior, r varia de 0 a 1 e theta de 0 a pi.

Passo 3

Reescrevendo a integral em polares, a gente tem:
integral duplaR sin(x^2+y^2),dx,dy = integraltheta=0^pi integralr=0^1 sin(r^2),r,dr,dtheta

Passo 4

Para calcular a parte em r, usamos a substituição u=r^2, logo du=2r,dr, isto é r,dr=du/2. Então:
integral0^1sin(r^2),r,dr = 12 integral0^1 sin(u),du = 12l[-cos(u)r]0^1 = 1-cos(1)2

Passo 5

Falta só integrar em theta:
integral0^pi dtheta = pi
Multiplicando, a integral total fica
pi times 1-cos(1)2 = pi2l(1-cos(1)r)

Resposta

pi2l(1-cos(1)r)

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