Calcule a integral dupla
, fazendo uma mudança de variáveis apropriada, onde
e
são dados, em cada um dos seguintes itens.
é a região limitada pelos segmentos de reta de
a
e de
a
, e, pelas circunferências
e
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla de f(x,y)=cos(x²+y²) sobre a região R limitada pelas circunferências x²+y²=1 e x²+y²=4 e pelos segmentos de reta de (1,0) a (2,0) e de (0,1) a (0,2). O conteúdo aqui é mudança de variáveis para coordenadas polares, pois f depende só de x²+y².
Passo 2
Fazendo a troca para coordenadas polares, definimos
com Jacobiano
A região R em (r,θ) fica
ao primeiro quadrante de duas circunferências:
ao primeiro quadrante de duas circunferências:
Passo 3
A integral em coordenadas polares vira
Passo 4
Para integrar em r, usamos a substituição u = r², du = 2r dr. Então
Passo 5
Agora só falta integrar em θ, que é trivial pois não depende de θ, gerando um fator de
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