Calcule a integral dupla integral duplaR f(x, y) d x d y, fazendo uma mudança de variáveis apropriada, onde f e R são dados, em cada um dos seguintes itens.
f(x, y)=cos (x^2+y^2), R é a região limitada pelos segmentos de reta de (1,0) a (2,0) e de (0,1) a (0,2), e, pelas circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4 ;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla de f(x,y)=cos(x²+y²) sobre a região R limitada pelas circunferências x²+y²=1 e x²+y²=4 e pelos segmentos de reta de (1,0) a (2,0) e de (0,1) a (0,2). O conteúdo aqui é mudança de variáveis para coordenadas polares, pois f depende só de x²+y².

Passo 2

Fazendo a troca para coordenadas polares, definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
com Jacobiano
dx,dy = r,dr,dtheta
A região R em (r,θ) fica
ao primeiro quadrante de duas circunferências:
1 <= r <= 2, 0 <= theta <= pi2

Passo 3

A integral em coordenadas polares vira
integral duplaR cos(x^2+y^2),dx,dy = integraltheta=0^pi2 integralr=1^2 cos(r^2),r,dr,dtheta

Passo 4

Para integrar em r, usamos a substituição u = r², du = 2r dr. Então
integralr=1^2 cos(r^2),r,dr = 12 integralu=1^4 cos(u),du = 12[sin(u)]1^4 = 12(sin4 - sin1)

Passo 5

Agora só falta integrar em θ, que é trivial pois não depende de θ, gerando um fator de pi2. Logo
integral duplaR f(x,y),dx,dy = integral0^pi2 12(sin4 - sin1),dtheta = pi2 cdot 12(sin4 - sin1) = pi4(sin4 - sin1)

Resposta

dfracpi4(sin4 - sin1)

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