Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe (justifique!):
lim (x, y) (1,1) raiz[3]x y-1raizx y-1

Passo 1

O enunciado pede o valor de lim(x,y)to(1,1) raiz[3]xy-1raizxy-1. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis, mas o truque é ver que tudo depende de xy, então vamos reduzir o problema a um limite de uma única variável.

Passo 2

Definimos t = xy. Como (x,y)to(1,1), temos tto1. Assim, a expressão vira
$$\frac{\sqrt[3]{xy}-1}{\sqrt{xy}-1} = \frac{t{1/3}-1}{t{1/2}-1},
$$

Passo 3

Perceba que ao fazer tto1 obtemos uma forma 0/0. Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital para a função de uma variável. Definimos f(t)=t^1/3 e g(t)=t^1/2. Então
f'(t)=13t^-2/3,
g'(t)=12t^-1/2

Passo 4

Pela Regra de L’Hôpital,
$$\lim_{t\to1}\frac{t{1/3}-1}{t{1/2}-1} = \lim_{t\to1}\frac{f’(t)}{g’(t)} = \frac{f’(1)}{g’(1)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}.
$$

Passo 5

Portanto, o limite original existe e vale 2/3.

Resposta

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