Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe (justifique!):
Passo 1
O enunciado pede o valor de
. O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis, mas o truque é ver que tudo depende de
, então vamos reduzir o problema a um limite de uma única variável.
Passo 2
Definimos
. Como
, temos
. Assim, a expressão vira
$$\frac{\sqrt[3]{xy}-1}{\sqrt{xy}-1} = \frac{t{1/3}-1}{t{1/2}-1},
$$
Passo 3
Perceba que ao fazer
obtemos uma forma
. Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital para a função de uma variável. Definimos
e
. Então
Passo 4
Pela Regra de L’Hôpital,
$$\lim_{t\to1}\frac{t{1/3}-1}{t{1/2}-1} = \lim_{t\to1}\frac{f’(t)}{g’(t)} = \frac{f’(1)}{g’(1)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}.
$$
Passo 5
Portanto, o limite original existe e vale
.